Η τιμή του άπειρου γινομένου με ρίζες του αριθμού e

Ποια είναι η τιμή του ακόλουθου άπειρου γινομένου; Στο γινόμενο, οι αριθμητές είναι οι \( n \)-οστές ρίζες του αριθμού \( e \) για \( n \) περιττούς αριθμούς, ενώ οι παρονομαστές είναι οι \( n \)-οστές ρίζες του \( e \) για \( n \) άρτιους αριθμούς. 

Δηλαδή, 

$\prod_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt[2n-1]{e}}{\sqrt[2n]{e}} =\dfrac{e}{\sqrt{e}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{e}}{\sqrt[4]{e}} \cdot \dfrac{\sqrt[5]{e}}{\sqrt[6]{e}} \cdots = ?$

Λύση

Αναπτύσσουμε το γινόμενο ως \[ P = \prod_{n=1}^\infty e^{\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}} = e^{\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}\right)}. \] Η σειρά στο εκθέτη είναι \[ S = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}\right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \] Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως η σειρά ανάπτυξης της φυσικής λογαριθμικής συνάρτησης: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2). \] Άρα 

$P = e^{\ln(2)} = 2.$