🧠 Παραγοντικά που Δεν Φανταστήκατε Ποτέ: Από το Κλασικό n! στα Παράξενα n!!, n!ₖ και n#

Από την απλή έννοια του παραγοντικού μέχρι τις πιο εξωτικές και άγνωστες μορφές του, εξερευνούμε έναν μαθηματικό κόσμο γεμάτο εκπλήξεις.

---

Οι περισσότεροι από εμάς μάθαμε στο σχολείο τι σημαίνει παραγοντικό:
το 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

Αλλά ποιος είπε ότι τα παραγοντικά τελειώνουν εδώ;

Υπάρχει ένα σύμπαν από «παράγοντες» που δεν θα φανταζόσασταν ότι υπάρχουν. Παρακάτω παρουσιάζουμε τα πιο εντυπωσιακά, περίεργα αλλά και απολύτως αληθινά είδη παραγοντικών που έχουν καθηλώσει μαθηματικούς σε όλο τον κόσμο.

---

1️⃣ Διπλό Παραγοντικό (n!!)

Το διπλό παραγοντικό ΔΕΝ σημαίνει (n!)!, αλλά ορίζεται ως το γινόμενο κάθε δεύτερου αριθμού από το n και κάτω.

• Αν το n είναι άρτιο:
  n!! = n × (n−2) × (n−4) × … × 2

• Αν το n είναι περιττό:
  n!! = n × (n−2) × (n−4) × … × 1

Παραδείγματα:
8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384
7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105

Χρήσεις; Στην τριγωνομετρία, στη φυσική και σε αναλύσεις ολοκληρωμάτων με ημίτονα, πολυώνυμα Legendre και όχι μόνο!

---

2️⃣ Πολυπαραγοντικά / k-Παραγοντικά (n!ₖ)

Γνωρίζατε ότι υπάρχει τριπλό παραγοντικό; Ή και τετραπλό;

Το πολυπαραγοντικό n!ₖ ορίζεται ως:
n!ₖ = n × (n−k) × (n−2k) × … (μέχρι το αποτέλεσμα να είναι ≤ 1)

Παράδειγμα τριπλού παραγοντικού:
9!!! = 9 × 6 × 3 = 162

Σκέψου το ως παραγοντικό με βήμα k αντί για 1.

---

3️⃣ Υπερπαραγοντικό sf(n)

Ανακαλύφθηκε από τους Sloan και Plouffe και ορίζεται ως:
sf(n) = 1! × 2! × 3! × … × n!

Ένα απλό παράδειγμα:
sf(4) = 1! × 2! × 3! × 4! = 1 × 2 × 6 × 24 = 288

Αλλά… sf(7) = 10.061.695.744.000
(πάνω από 10 τρισεκατομμύρια!)

---

4️⃣ Υπερπαραγοντικό Ισχύος (H(n))

Ορίζεται ως:
H(n) = 1¹ × 2² × 3³ × … × nⁿ

Για n = 3:
H(3) = 1 × 4 × 27 = 108

Εκθετικά «εκρηκτικός» αριθμός!

---

5️⃣ Πρωταρχικός Παραγοντικός (n#)

Γράφεται ως n#, και περιλαμβάνει το γινόμενο όλων των πρώτων αριθμών ≤ n.

Για παράδειγμα:
7# = 2 × 3 × 5 × 7 = 210
11# = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310

Ονομάζεται και «προϊον των πρώτων» (primorial) — σημαντικός στη θεωρία αριθμών και στη μελέτη των πρώτων.