🔵 Εφαπτόμενες Σφαίρες και Το Απρόσμενο Θεώρημα του Soddy

Στην τρισδιάστατη γεωμετρία, οι εφαπτόμενες σφαίρες αποκαλύπτουν σχέσεις εξαιρετικής ομορφιάς και συμμετρίας, με εφαρμογές από τη θεωρία αριθμών έως τη φυσική και τη στερεομετρία. 

Παρακάτω παρουσιάζουμε ορισμένες εκπληκτικές ιδιότητες των εφαπτομένων σφαιρών, με αφετηρία την κλασική εργασία του Soddy και επεκτάσεις σε υψηλότερες διαστάσεις.

---

🔹 Τέσσερις Αμοιβαία Εφαπτόμενες Σφαίρες

Οποιοδήποτε σύνολο τεσσάρων αμοιβαία εφαπτομένων σφαιρών καθορίζει έξι σημεία επαφής. Αυτά τα σημεία μπορούν να ομαδοποιηθούν σε τρία "αντίθετα" ζεύγη, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε έναν τρόπο διαίρεσης των τεσσάρων σφαιρών σε δύο ζεύγη. Αυτά τα αντίθετα ζεύγη συμπίπτουν μεταξύ τους (Altshiller-Court, 1979· Eppstein, 2001).

---

🔹 Το Εξάγωνο του Soddy (Hexlet)

Μια ιδιαίτερη κατασκευή, γνωστή ως εξάγωνο του Soddy (Soddy Hexlet), αποτελείται από έξι σφαίρες που:

• εφάπτονται εξωτερικά σε δύο σφαίρες,

• εσωτερικά σε μία περιβάλλουσα σφαίρα.

Οι ακτίνες των έξι σφαιρών ικανοποιούν τη σχέση:

$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_4} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_5} = \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_6}.$$

🔹 Το Εικοσιδωδεκάεδρο του Αρχιμήδη

Ένα κλασικό πρόβλημα Sangaku (Ιαπωνία, 1798) ζητά τη διάταξη 30 πανομοιότυπων σφαιρών ακτίνας ρ ώστε να εφάπτονται:

• σε μία κεντρική σφαίρα ακτίνας Ρ,

• και σε τέσσερις άλλες μικρές σφαίρες.

Αυτό επιτυγχάνεται όταν οι σφαίρες τοποθετηθούν στις κορυφές ενός εικοσιδωδεκαέδρου με μήκος πλευράς $a$. Οι σχέσεις δίνονται από:

$$\rho = \frac{1}{2}a, \quad R = \frac{1}{2} \sqrt{5}a.$$

(Rothman, 1998)

---

🔹 Ο Νόμος του Soddy για 5 Σφαίρες

Για πέντε αμοιβαία εφαπτόμενες σφαίρες με καμπυλότητες $\kappa_1, \dots, \kappa_5$, ισχύει:

$$3(\kappa_1^2 + \kappa_2^2 + \kappa_3^2 + \kappa_4^2 + \kappa_5^2) = (\kappa_1 + \kappa_2 + \kappa_3 + \kappa_4 + \kappa_5)^2.$$

Από εδώ προκύπτει (Soddy 1937a):

$$\kappa_5 = \frac{1}{2}(\sigma \pm \sqrt{D}),$$

όπου:

• $\sigma = \kappa_1 + \kappa_2 + \kappa_3 + \kappa_4$,

• $D = 6\sum_{i<j} \kappa_i\kappa_j - 3\sum \kappa_i^2$.

Ο Gosset (1937) απέδειξε ότι:

$$\sqrt{D} = 3\sqrt{3}V \kappa_1\kappa_2\kappa_3\kappa_4,$$

όπου V είναι ο όγκος του τετραέδρου που σχηματίζεται από τα κέντρα των τεσσάρων σφαιρών.

---

🔹 Τύπος Όγκου και Εφαπτομένων Τετραέδρων

Οι ακμές των τετραέδρων που σχηματίζονται από σημεία επαφής έχουν σταθερό γινόμενο:

$$4\sqrt{(\kappa_1 + \kappa_5)(\kappa_2 + \kappa_5)(\kappa_3 + \kappa_5)(\kappa_4 + \kappa_5)},$$

και ο όγκος τους δίνεται από:

$$V = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\kappa_5}{(\kappa_1 + \kappa_5)(\kappa_2 + \kappa_5)(\kappa_3 + \kappa_5)(\kappa_4 + \kappa_5)}.$$

(Soddy 1937b)

---

🔹 Η Επέκταση του Gosper σε Υπερσφαίρες

Ο Gosper επέκτεινε το παραπάνω σε $n+2$ αμοιβαία εφαπτόμενες ν-διάστατες υπερσφαίρες, των οποίων οι καμπυλότητες ικανοποιούν:

$$\left( \sum_{i=0}^{n+1} \kappa_i \right)^2 - n \sum_{i=0}^{n+1} \kappa_i^2 = 0.$$

Λύνοντας για $\kappa_{n+1}$, προκύπτει:

$$\kappa_{n+1} = \frac{\sqrt{n} \sqrt{\left(\sum_{i=0}^n \kappa_i \right)^2 - (n-1) \sum_{i=0}^n \kappa_i^2} + \sum_{i=0}^n \kappa_i}{n-1}.$$

Για n = 3, αν η ρίζα γίνει αρνητική, η λύση αντιστοιχεί σε μια φανταστική καμπυλότητα, δηλαδή μια σφαίρα που δεν μπορεί να υπάρχει.

---

📚 Πηγές

• Altshiller-Court, College Geometry, 1979.

• Eppstein, Geometry Junkyard, 2001.

• Soddy, The Kiss Precise, Nature, 1937.

• Gosset, 1937.

• Rothman, Discover Magazine, 1998.