Και σημείο καμπής και κατακόρυφη εφαπτομένη στο 0

Δίνεται η συνάρτηση

$$f(x)= \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & x < 0 \end{cases}$$

Να εξετάσετε αν το σημείο $(0,f(0))$ είναι σημείο καμπής της καμπύλης $\mathcal{C}_f$.

Λύση
Έχουμε:

$x>0$: $f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}},\quad f''(x)=-\frac1{4x^{3/2}}<0$ ⇒ καμπύλη κοίλη προς τα κάτω.

Για $x<0$: $f(x)=-\sqrt{-x}\Rightarrow f'(x)=\frac1{2\sqrt{-x}},\quad f''(x)=\frac1{4(-x)^{3/2}}>0$ ⇒ καμπύλη κυρτή (κοίλη προς τα πάνω).

Στο $x=0$, $f$είναι συνεχής και η κυρτότητα αλλάζει πρόσημο (από $+$ σε $-$). Η παράγωγος στο $0$ δεν υπάρχει γιατί
$\lim_{x\to0^-}f'(x)=\lim_{x\to0^+}f'(x)=+\infty$ (κατακόρυφη εφαπτομένη), αλλά αυτό δεν αναιρεί την αλλαγή κυρτότητας.

Συμπέρασμα: $(0,f(0))=(0,0)$ είναι σημείο καμπής της $\mathcal C_f$ με κατακόρυφη εφαπτομένη στο $x=0$.