Δίνεται η παραβολική συνάρτηση $y=x^2$. Μέσα στην περιοχή που ορίζεται από την παραβολή και τον άξονα x (ή γενικότερα, σε όλη την παραβολή), εγγράφονται τετράγωνα (ρόμβοι με τις διαγωνίους στους άξονες συντεταγμένων).
Κάθε ένα από αυτά τα τετράγωνα ορίζεται από την εξίσωση απόλυτης τιμής:
$∣x∣+∣y−a^2∣=a$, με $a≥1$
όπου a είναι μια θετική σταθερά.
Ερωτήματα:
Κατανόηση της εξίσωσης του τετραγώνου:
- Ποιο είναι το κέντρο του τετραγώνου που ορίζεται από την εξίσωση $∣x∣+∣y−a^2∣=a$;
- Ποιες είναι οι συντεταγμένες των τεσσάρων κορυφών ενός τέτοιου τετραγώνου, συναρτήσει του a;
- Επαληθεύστε ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι πράγματι $s = a\sqrt{2}$
Σχέση με την παραβολή:
Γιατί τα τετράγωνα αυτά μπορούν να εγγραφούν μέσα στην παραβολή y=x2; Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία ή/και μια αλγεβρική αιτιολόγηση. (Σκεφτείτε πώς οι κορυφές του τετραγώνου σχετίζονται με την παραβολή).
Εφαρμογή και οπτικοποίηση:
- Για a=1, βρείτε τις κορυφές του τετραγώνου και σχεδιάστε το στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων με την παραβολή y=x2.
- Για a=2, βρείτε τις κορυφές του τετραγώνου και σχεδιάστε το.
- Πώς μεταβάλλονται το μέγεθος και η θέση των τετραγώνων καθώς αυξάνεται η τιμή του a;
Στόχος του προβλήματος:
Αυτό το πρόβλημα στοχεύει στην κατανόηση της γραφικής παράστασης εξισώσεων απόλυτης τιμής, της σχέσης μεταξύ γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών εξισώσεων, καθώς και της οπτικοποίησης της αλλαγής παραμέτρων σε ένα σύστημα.
Προαιρετικό (για πιο προχωρημένους):
- Βρείτε το εμβαδόν E κάθε τετραγώνου συναρτήσει του a.
- Βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τετραγώνου σε σχέση με την παράμετρο a.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου