Θεώρημα του Ύψους σε Ορθογώνιο Τρίγωνο

Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος από την κορυφή της ορθής γωνίας προς την υποτείνουσα, τότε το μήκος του ύψους ισούται με το γεωμετρικό μέσο των προβολών των κάθετων πλευρών πάνω στην υποτείνουσα.

Συμβολισμός:

• Έστω το τρίγωνο \( \triangle ABC \), με \( \angle ACB = 90^\circ \)
• Το ύψος από το \( C \) στην υποτείνουσα \( AB \) είναι το \( CD = h \)
• Τα τμήματα της υποτείνουσας: \( AD = p \), \( DB = q \)

Τότε ισχύει:

\[ h = \sqrt{pq} \]

---

Απόδειξη με Ομοιότητες Τριγώνων

1. Τα τρίγωνα \( \triangle ABC \) και \( \triangle ACD \) είναι ορθογώνια και έχουν κοινή γωνία \( \angle BAC = \angle CAD \), άρα είναι όμοια.
2. Ομοίως, τα τρίγωνα \( \triangle ABC \) και \( \triangle BDC \) είναι όμοια (έχουν \( \angle ABC = \angle CBD \) και ορθή γωνία).

Από την ομοιότητα παίρνουμε:

\[ \frac{h}{p} = \frac{q}{h} \quad \Rightarrow \quad h^2 = pq \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{pq} \quad (h, p, q > 0) \]

---

Συμπέρασμα: Το ύψος από την ορθή γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου προς την υποτείνουσα ισούται με το γεωμετρικό μέσο των δύο τμημάτων στα οποία διαιρείται η υποτείνουσα από το ύψος.