Το Θεώρημα του Κούρσακ: Ένα Κόσμημα της Γεωμετρίας

Θεώρημα του Κούρσακ (Kürschák’s Tile Theorem)

Ο Γιόζεφ Κούρσακ (1864–1933) απέδειξε ότι το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1 είναι ακριβώς 3, χωρίς να χρησιμοποιήσει τριγωνομετρία. Η απόδειξη βασίζεται σε μία έξυπνη κατασκευή με ισόπλευρα τρίγωνα και τετράγωνα.

Η Κατασκευή

1. Ξεκινάμε με ένα τετράγωνο.

2. Σε κάθε πλευρά του τετραγώνου κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο προς τα μέσα.

   
   
   

3. Οι κορυφές των ισόπλευρων τριγώνων σχηματίζουν ένα νέο, μικρότερο τετράγωνο στο εσωτερικό.

   • Αυτό το τετράγωνο ονομάζεται Kürschák’s Tile.

4. Οι τομές των επεκτάσεων των πλευρών των ισόπλευρων τριγώνων, μαζί με τα μέσα των πλευρών του εσωτερικού τετραγώνου, σχηματίζουν ένα κανονικό δωδεκάγωνο.

   

---

Ιδιότητες του Δωδεκαγώνου

• Το δωδεκάγωνο χωρίζεται σε 24 ισοσκελή τρίγωνα $15\mathrm{°}\text{–}15\mathrm{°}\text{–}150\mathrm{°}$ και 12 ισόπλευρα τρίγωνα.

• Δύο από τα ισοσκελή τρίγωνα ενώνουν τη βάση τους και σχηματίζουν έναν ρόμβο με πλευρά ίση με αυτή του ισόπλευρου τριγώνου.

• Ολόκληρη η διάταξη δημιουργεί έναν φυσικό διαχωρισμό του τετραγώνου σε κομμάτια, που αποκαλύπτουν ότι το εμβαδόν του δωδεκαγώνου = 3 × εμβαδόν τετραγώνου με πλευρά 1/√2, το οποίο οδηγεί ακριβώς στην τιμή 3 για το εμβαδόν.

  

  

---

Γεωμετρική Απόδειξη του Εμβαδού 3

• Το τετράγωνο έξω από το δωδεκάγωνο διασπάται σε:

  • 8 ισοσκελή τρίγωνα (ίδια με τα εσωτερικά που σχηματίζουν τους ρόμβους).

  • 8 ισόπλευρα τρίγωνα (ίσα με τα εσωτερικά).

• Οπότε, το δωδεκάγωνο αποτελεί 3/4 της επιφάνειας του περιβάλλοντος τετραγώνου και αυτό οδηγεί σε ακριβές εμβαδόν 3 για κύκλο ακτίνας 1.

---

Μικρή Παρατήρηση

Μόνο δύο κανονικά πολύγωνα εγγεγραμμένα σε μοναδιαίο κύκλο έχουν ρητό εμβαδόν:

1. Το τετράγωνο (εμβαδόν = 2)

2. Το κανονικό δωδεκάγωνο (εμβαδόν = 3)