Πότε Χρησιμοποιούμε Ανοιχτά και Πότε Κλειστά Διαστήματα;

Στην προσπάθεια κατανόησης των διαστημάτων όπου μια συνάρτηση είναι αύξουσα ή φθίνουσα, πολλοί μαθητές εκπλήσσονται όταν ανακαλύπτουν ότι τα βιβλία μαθηματικών διαφωνούν — και ότι τα όρια των διαστημάτων μπορούν να θεωρηθούν είτε εντός είτε εκτός!

---

🔍 Ποιο είναι το θέμα;

Μια θεμελιώδης ερώτηση στην ανάλυση είναι:

Όταν λέμε ότι μια συνάρτηση "αυξάνεται στο διάστημα $(a,b)$", περιλαμβάνουμε τα άκρα;

• Κάποιοι μαθηματικοί και βιβλία λένε όχι – τα άκρα δεν πρέπει να περιλαμβάνονται, γιατί η έννοια της τοπικής αύξησης βασίζεται στην ύπαρξη "γειτονιάς" γύρω από κάθε σημείο.

• Άλλοι λένε ναι, ειδικά όταν το πλαίσιο δεν είναι αυστηρά αναλυτικό, αλλά πιο αλγεβρικό ή διαισθητικό.

---

🧠 Δύο οπτικές γωνίες

1️⃣ Από την οπτική της Ανάλυσης... μόνο ανοιχτά διαστήματα

📎 Όταν χρησιμοποιούμε παραγώγους, εξετάζουμε την τιμή της σε κάθε σημείο του διαστήματος.

Επειδή τα άκρα δεν έχουν γείτονες από όλες τις πλευρές, δεν μπορούμε να κρίνουμε αν η συνάρτηση αυξάνεται εκεί.

🔸 Παράδειγμα: Για τη συνάρτηση

$$y=-x^3+12x$$

η συνάρτηση αυξάνεται από $x=-2$ έως $x=2$.
Με βάση τον λογισμό, το σωστό διάστημα είναι:

$$(-2,2)$$

---

2️⃣ Από την οπτική της Άλγεβρας... ίσως και κλειστά διαστήματα

📎 Στο πλαίσιο πιο αλγεβρικών ή γραφικών προσεγγίσεων (π.χ. στο λύκειο ή σε εισαγωγικά μαθήματα), η έννοια της αύξησης μπορεί να περιλαμβάνει και τα άκρα, εφόσον η συνάρτηση είναι «πάνω» σε όλο το διάστημα.

🔸 Δηλαδή μπορεί να γραφτεί:

$$[-2,2]$$

Παράδειγμα: Η συνάρτηση

$$f(x)=x^2$$

αυξάνεται στο κλειστό διάστημα $[0,3]$ αν κοιτάμε απλώς τη γραφική της παράσταση.

---

✅ Συμπέρασμα

Δεν υπάρχει απόλυτα σωστός ή λάθος τρόπος — εξαρτάται από το πλαίσιο:

• Αν η ερώτηση βασίζεται σε παραγώγους, τότε τα διαστήματα είναι ανοιχτά.

• Αν βασίζεται σε γραφική ή αλγεβρική κατανόηση, μπορεί να είναι κλειστά ή ημι-ανοιχτά.

📣 Πριν βιαστούμε να πούμε ότι κάποιος «έκανε λάθος», ρίχνουμε μια ματιά στον ορισμό που υιοθετεί — και βλέπουμε ότι η μαθηματική συνέπεια είναι πιο σημαντική από την απόλυτη μορφή.