Συμβολισμός Σίγμα (∑): Ορισμός, Ταυτότητες

Ορισμός

Το άθροισμα (ή αλλιώς summation) είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης μιας σειράς όρων (προσθετέων). Συμβολίζεται συνήθως με το ελληνικό γράμμα σίγμα:

Για ακέραιους $a, b$ με $b \geq a$ και για μια ακολουθία $(c_i)$, ισχύει:

$$\sum_{i=a}^{b} c_i = c_a + c_{a+1} + c_{a+2} + \cdots + c_{b}.$$Εδώ:

• $i$ λέγεται δείκτης αθροίσματος,

• $a$ είναι το κάτω όριο,

• $b$ είναι το άνω όριο.

📌 Αν $a > b$, τότε το άθροισμα ορίζεται ως $0$ (κενό άθροισμα).

Παράδειγμα

$$\sum_{i=3}^{6} i^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3.$$

Συχνά ο συμβολισμός σίγμα παίρνει ειδικές μορφές:

• $\sum_{\text{cyc}}$ σημαίνει κυκλικό άθροισμα,

• $\sum_{a,b \in S}$ σημαίνει άθροισμα για όλα τα στοιχεία $a, b \in S$,

• $\sum_{i \mid n} i$ σημαίνει άθροισμα όλων των $i$ που διαιρούν το $n$.

---

Ταυτότητες

Γραμμικότητα

$$\sum_{i=a}^{b}(f(i)+g(i)) = \sum_{i=a}^{b} f(i) + \sum_{i=a}^{b} g(i)$$$$\sum_{i=a}^{b} c \cdot f(i) = c \cdot \sum_{i=a}^{b} f(i)$$

Αριθμητικά Αθροίσματα

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=a}^{b} i = \frac{(b-a+1)(a+b)}{2}$$

Τετραγωνικά και Κυβικά Αθροίσματα

$$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Γεωμετρικά Αθροίσματα

$$\sum_{i=0}^{n} x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}, \quad \sum_{i=a}^{b} c^i = \frac{c^{b+1}-c^a}{c-1}$$

Συνδυασμοί

$$\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^n$$

Διπλά Αθροίσματα

$$\sum _{i,j=1}^{n}f(i,j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f(i,j)$$