Ένας υπερβατικός αριθμός είναι ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός που δεν αποτελεί ρίζα κανενός πολυωνύμου με ακέραιους ή ρητούς συντελεστές. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους (ή ρητούς) συντελεστές για την οποία ο αριθμός αυτός να είναι λύση. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως λύση αλγεβρικής εξίσωσης.
.jpg)
Αλγεβρικοί και Υπερβατικοί Αριθμοί
Ένας αλγεβρικός αριθμός είναι κάθε αριθμός που είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.
Για παράδειγμα, οι ρίζες της εξίσωσης \(x^2 - 2 = 0\), δηλαδή \(\pm \sqrt{2}\), είναι αλγεβρικοί αριθμοί. Οι υπερβατικοί αριθμοί βρίσκονται «πέρα» από αυτούς: δεν ικανοποιούν καμία τέτοια εξίσωση.Κλασικά Παραδείγματα
- Ο αριθμός e (βάση των φυσικών λογαρίθμων).
- Ο αριθμός π (αναλογία περιφέρειας προς διάμετρο κύκλου).
Ιστορικές Αποδείξεις
Το 1873 ο Charles Hermite απέδειξε ότι ο \(e\) είναι υπερβατικός. Λίγα χρόνια αργότερα, το 1882, ο Ferdinand von Lindemann, βασιζόμενος σε ιδέες του Hermite, απέδειξε ότι και το \(\pi\) είναι υπερβατικός. Αυτό είχε τεράστια σημασία, καθώς έδωσε την οριστική απάντηση στο αρχαίο ελληνικό πρόβλημα της τετραγωνίσεως του κύκλου: δεν είναι δυνατόν με κανόνα και διαβήτη να κατασκευαστεί τετράγωνο με το ίδιο εμβαδόν με έναν δοσμένο κύκλο.
Η Αφθονία των Υπερβατικών
Το πλήθος των υπερβατικών αριθμών είναι συντριπτικά μεγαλύτερο από αυτό των αλγεβρικών: ενώ οι αλγεβρικοί είναι άπειροι αλλά αριθμήσιμοι, οι υπερβατικοί είναι μη αριθμήσιμοι, δηλαδή αποτελούν το «μεγαλύτερο μέρος» της πραγματικής γραμμής. Συνεπώς, οι υπερβατικοί αριθμοί δεν είναι σπάνιες εξαιρέσεις αλλά ο κανόνας στον κόσμο των πραγματικών και μιγαδικών αριθμών.
Εν ολίγοις: αν ένας αριθμός δεν είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους (ή ρητούς) συντελεστές, τότε είναι υπερβατικός. Αυτό περιλαμβάνει σημαντικές μαθηματικές σταθερές όπως το \(e\) και το \(\pi\), που παίζουν καθοριστικό ρόλο τόσο στη θεωρία αριθμών όσο και στις εφαρμογές της ανάλυσης και της κρυπτογραφίας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου