Το «Θαύμα» του Moessner: Πώς ξεπηδούν οι δυνάμεις από απλά αθροίσματα

Ο Alfred Moessner (1951) παρατήρησε έναν εντυπωσιακά απλό αλγόριθμο που «γεννά» τις διαδοχικές δυνάμεις $1^n,2^n,3^n,…$ από τη βασική ακολουθία των φυσικών αριθμών, απλώς με περιοδικές αφαιρέσεις όρων και μερικά αθροίσματα. 

Το αποτέλεσμα ονομάστηκε «Το Θαύμα του Moessner»· την ίδια χρονιά ο Oskar Perron έδωσε αυστηρή απόδειξη. MatematikselWikipedia

Η διαδικασία βήμα-βήμα

1. Γράψε στη σειρά τους φυσικούς: $1,2,3,4,5,\dots$
   

2. Διάλεξε έναν θετικό ακέραιο $n$. Σβήσε κάθε $n$-οστόν όρο.

3. Από τους υπόλοιπους σχημάτισε τη νέα ακολουθία των μερικών αθροισμάτων.

4. Σ’ αυτή τη νέα ακολουθία, σβήσε τώρα κάθε $(n\!-\!1)$-οστόν όρο και ξαναπάρε μερικά αθροίσματα.

5. Συνέχισε μέχρι να κάνεις συνολικά $n$ «περάσματα» (σβήσιμο/άθροισμα).

Θεώρημα (Moessner): Μετά το $n$-οστό πέρασμα, η ακολουθία που απομένει είναι

$$1^n,\ 2^n,\ 3^n,\ 4^n,\ \dots$$δηλαδή οι $n$-οστές δυνάμεις των φυσικών. WikipediaMathWorld

Παραδείγματα

• Τετράγωνα ($n=2$): σβήσε κάθε 2ο όρο: $1,3,5,7,\dots$Πάρε μερικά αθροίσματα: $1,4,9,16,\dots=1^2,2^2,3^2,4^2,\dots$ Wikipedia

• Κύβοι ($n=3$): 1ο πέρασμα σβήνεις κάθε 3ο, 2ο πέρασμα κάθε 2ο, με ενδιάμεσα μερικά αθροίσματα· προκύπτουν $1,8,27,64,\dots=1^3,2^3,3^3,4^3,\dots$ Matematiksel

• Τέταρτες δυνάμεις ($n=4$): διαδοχικά σβήνεις ανά 4, έπειτα ανά 3, έπειτα ανά 2—κάθε φορά ακολουθεί μερικό άθροισμα—και παίρνεις $1,16,81,256,\dots=1^4,2^4,3^4,4^4,\dots$ Wikipedia

Γιατί δουλεύει;

Η απόδειξη στηρίζεται σε προσεκτική αναδρομική ανάλυση της δομής που δημιουργούν τα επαναλαμβανόμενα «σβησίματα» και τα μερικά αθροίσματα. Την πρώτη πλήρη απόδειξη έδωσε ο Oskar Perron (1951). Νεότερες εργασίες προσφέρουν εναλλακτικές αποδείξεις και τυπικές διατυπώσεις (π.χ. Kozen–Silva). jstor.orgcs.cornell.edu

Παραλλαγές

Με κατάλληλη επιλογή των όρων που αφαιρούνται (π.χ. αφαιρώντας τους τριγωνικούς αριθμούς) η ίδια «μηχανή» μπορεί να παράγει και άλλες κλασικές ακολουθίες, όπως τα παραγοντικά $1!,2!,3!,\dots$ Wikipedia

---

Πηγές – για περαιτέρω διάβασμα

• Matematiksel.org, «Moessner Mucizesi: 2000 Yıldır Gözden Kaçan Bir Teorem» (εισαγωγικό άρθρο με παραδείγματα). Matematiksel
• Wikipedia, «Moessner’s theorem» (ορισμός, παραδείγματα, ιστορικά). Wikipedia
• Kozen, D. & Silva, A., On Moessner’s Theorem (2011) – τεχνική εργασία με αποδείξεις/γενικεύσεις. cs.cornell.edu
• Wolfram MathWorld, «Moessner’s Theorem» (συνοπτική παρουσίαση). MathWorld
• Long, C. T., «On the Moessner Theorem on Integral Powers» (Amer. Math. Monthly, 1966). jstor.org