Μια Εναλλακτική Απόδειξη της Ανισότητας του Young

Έστω $\varphi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ μια γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση.
Ορίζουμε τις συναρτήσεις:

$$F(x)={\int }_0^x\phi (t)dt,G(x)={\int }_0^x{\phi }^{-1}(t)dt,$$

όπου $\varphi^{-1}$ είναι η αντίστροφη συνάρτηση της $\varphi$.

Τότε, για κάθε $a,b>0$ ισχύει η ανισότητα του Young:

$$F(a)+G(b)\ge ab,$$

με ισότητα μόνο όταν $b = \varphi(a)$.

---

Απόδειξη (σύντομη εκδοχή)

Η $\varphi^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα η παράγωγός της είναι θετική, και επομένως η $G(x)$ είναι γνησίως κυρτή.

Από την κυρτότητα της $G$ έχουμε, για κάθε $b,c>0$:

$$G(b)\ge G(c)+G^{\mathrm{\prime }}(c)(b-c),$$

όπου $G'(c)=\varphi^{-1}(c)$.

Θέτουμε $c = \varphi(a)$, οπότε:

$$G(b)\ge G(\phi (a))+{\phi }^{-1}(\phi (a))(b-\phi (a))=G(\phi (a))+a(b-\phi (a))\mathrm{.}$$

Προσθέτοντας $F(a)$ και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα:

$$F(a)+G(\phi (a))=a\phi (a),$$

παίρνουμε:

$$F(a)+G(b)\ge a\phi (a)+a(b-\phi (a))=ab\mathrm{.}$$

---

Σημασία της Ανισότητας

Η ανισότητα του Young είναι θεμελιώδης στη μαθηματική ανάλυση και συνδέει το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης με το ολοκλήρωμα της αντίστροφής της.

Βρίσκει εφαρμογές σε:

• Θεωρία μέτρου και σύγκλισης

• Βελτιστοποίηση

• Ανισότητες ολοκληρωμάτων

• Ανάλυση κυρτών συναρτήσεων

Η ισότητα ισχύει μόνο όταν $b = \varphi(a)$, δηλαδή όταν τα μεγέθη ταιριάζουν μέσω της αντίστροφης συνάρτησης.