[75] - Algebraic Inequalities from and for Math Contests

Έστω $a,b,c>0$ τέτοιοι ώστε το πολύ ένας από αυτούς να είναι μικρότερος του $1$ και \[a^5+b^5+c^5=3.\] Να αποδείξετε ότι \[\left(a^2+b^2+c^2\right)\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9.\] Proposed by Vasile Cirtoaje, Petroleum-Gas University of Ploiești, Romania