Συνεπαγωγή και Ισοδυναμία: Ένας απλός εγκυκλοπαιδικός οδηγός

Οι λογικές σχέσεις συνεπαγωγής και ισοδυναμίας βρίσκονται πίσω από κάθε μαθηματική απόδειξη. Στον οδηγό αυτό παρουσιάζονται ορισμοί, παραδείγματα, πίνακες αλήθειας και πρακτικές τεχνικές απόδειξης, με τρόπο κατανοητό για όλους.

1) Τι είναι Συνεπαγωγή (→)

Συμβολίζουμε A → B και διαβάζουμε «αν A, τότε B». Το A λέγεται υπόθεση (ή προκείμενη) και το B συμπέρασμα.

Παραδείγματα (καθημερινά):

• Αν βρέχει, τότε έχει σύννεφα.
• Αν πληρώσω το εισιτήριο, τότε περνάω την πύλη.

Παραδείγματα (μαθηματικά):

• Αν ο n είναι πολλαπλάσιο του 4, τότε ο n είναι άρτιος.
• Αν x > 2, τότε x² > 4.

Πίνακας αλήθειας της συνεπαγωγής

A	B	A → B
Αληθές	Αληθές	Αληθές
Αληθές	Ψευδές	Ψευδές
Ψευδές	Αληθές	Αληθές
Ψευδές	Ψευδές	Αληθές

Σημαντικό: Αν το A είναι ψευδές, τότε το A → B θεωρείται αληθές (κενή αλήθεια).

Αναγκαία και Ικανή συνθήκη

• Στο A → B, το A είναι ικανή συνθήκη για το B.
• Το B είναι αναγκαία συνθήκη για το A.

Παράδειγμα: «Αν αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 4, τότε είναι άρτιος». Το «άρτιος» είναι αναγκαίο για το «πολλαπλάσιο του 4», όχι όμως ικανό.

Συγγενείς προτάσεις

• Αντίστροφη: B → A (δεν ισοδυναμεί γενικά με την αρχική).
• Αντίθετη: ¬A → ¬B.
• Αντιθετοαντίστροφη (contrapositive): ¬B → ¬A — ισοδύναμη με το A → B.

Συνήθη σφάλματα

• Επιβεβαίωση επακόλουθου: Από A → B και B, συμπέρασμα A (λάθος).
• Άρνηση προκείμενης: Από A → B και ¬A, συμπέρασμα ¬B (λάθος).

Πώς αποδεικνύουμε μια συνεπαγωγή;

• Άμεση απόδειξη: Υποθέτουμε A και δείχνουμε B.
• Με αντιθετοαντίστροφο: Δείχνουμε ¬B → ¬A.
• Με άτοπο: Υποθέτουμε A και ¬B και φτάνουμε σε αντίφαση.
• Κατά περίπτωση: Διασπούμε την υπόθεση A σε υποπεριπτώσεις.

---

2) Τι είναι Ισοδυναμία (↔)

Συμβολίζουμε A ↔ B και διαβάζουμε «A αν και μόνο αν B». Η ισοδυναμία είναι διπλή συνεπαγωγή: ταυτόχρονα A → B και B → A.

Πίνακας αλήθειας της ισοδυναμίας

A	B	A ↔ B
Αληθές	Αληθές	Αληθές
Αληθές	Ψευδές	Ψευδές
Ψευδές	Αληθές	Ψευδές
Ψευδές	Ψευδές	Αληθές

Παραδείγματα ισοδυναμιών:

• Καθημερινό: «Το φως είναι αναμμένο αν και μόνο αν ο διακόπτης είναι στο ON» (σε απλό κύκλωμα).
• Αριθμητική: «Ένας ακέραιος n είναι άρτιος ⇔ το τελευταίο ψηφίο του είναι ένα από 0,2,4,6,8.»
• Γεωμετρία: «Τρίγωνο είναι ισοσκελές ⇔ οι βάσεις γωνίες του είναι ίσες».

Πώς αποδεικνύουμε μια ισοδυναμία;

1. (⇒) Δείχνουμε A → B.
2. (⇐) Δείχνουμε B → A.

Συχνά οι δύο κατευθύνσεις απαιτούν διαφορετικές ιδέες.

---

3) Μικρός «οδηγός τσέπης»

• Συνεπαγωγή: Σκέφτομαι ικανή συνθήκη και δοκιμάζω το αντιθετοαντίστροφο.
• Ισοδυναμία: Αποδεικνύω και τις δύο κατευθύνσεις.
• Ξεχωρίζω «αν» από «αν και μόνο αν» — δεν είναι το ίδιο.
• Ελέγχω γρήγορα με πίνακες αλήθειας.
• Αποφεύγω: επιβεβαίωση επακόλουθου & άρνηση προκείμενης.

---

4) Δύο σύντομες εφαρμογές

(α) Αριθμητική – Άμεση απόδειξη

Ισχυρισμός: Αν n είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.
Ιδέα: 10 ≡ 1 (mod 3) ⇒ κάθε θέση συμβάλλει όπως το ψηφίο της· το άθροισμα ψηφίων έχει το ίδιο υπόλοιπο με τον αριθμό.

(β) Γεωμετρία – Ισοδυναμία

Ισχυρισμός: Τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ⇔ οι διαγώνιοί του διχοτομούν η μία την άλλη.
Ιδέα: Η μία κατεύθυνση με διανύσματα/μέσους, η αντίστροφη από ιδιότητες παραλληλογράμμου.

---

5) Μικρές ασκήσεις κατανόησης

1. Συνεπαγωγή: Από το «Αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 6, τότε είναι άρτιος» προκύπτει ότι «Αν είναι άρτιος, τότε είναι πολλαπλάσιο του 6»; Γιατί;
2. Ισοδυναμία: Δείξε ότι «Ένας ακέραιος είναι πολλαπλάσιο του 9 ⇔ το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9» (υπόδειξη: 10 ≡ 1 (mod 9)).
3. Contrapositive: Απόδειξε «Αν n² είναι άρτιος, τότε n είναι άρτιος» χρησιμοποιώντας τη μορφή ¬B → ¬A.

Ενδεικτικές ιδέες/λύσεις (άνοιξε για να δεις)

1. Όχι. Η αντίστροφη B → A δεν ισχύει απαραίτητα. Π.χ. 8 είναι άρτιος αλλά δεν είναι πολλαπλάσιο του 6.
2. Γράψε τον αριθμό δεκαδικά και χρησιμοποίησε ότι 10 ≡ 1 (mod 9). Το συμπέρασμα ισχύει και αντίστροφα.
3. Contrapositive: «Αν n δεν είναι άρτιος (δηλ. είναι περιττός), τότε n² είναι περιττός».

---

Σύνοψη: Η συνεπαγωγή (→) οδηγεί από υπόθεση σε συμπέρασμα· η ισοδυναμία (↔) απαιτεί και τις δύο κατευθύνσεις. Χρησιμοποίησε αντιθετοαντίστροφο, άτοπο και πίνακες αλήθειας για γρήγορο έλεγχο και αποδείξεις.