Το Επταδεκαγώνιο: Το Θαύμα του Gauss στα 19 του Χρόνια

Το κανονικό πολύγωνο με 17 πλευρές ονομάζεται επταδεκαγώνιο (ή και επτακαιδεκάγωνο). Για αιώνες θεωρούνταν αδύνατο να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, ώσπου το 1796, σε ηλικία μόλις 19 ετών, ο Carl Friedrich Gauss απέδειξε ότι είναι πράγματι κατασκευάσιμο.

Η απόδειξή του δημοσιεύτηκε αργότερα στο μνημειώδες έργο του Disquisitiones Arithmeticae.

---

Η Ιδέα της Απόδειξης

Η απόδειξη του Gauss βασίζεται στη θεωρία των ρητών ριζών πολυωνύμων.

Έδειξε ότι ένα κανονικό πολύγωνο με $n$ πλευρές μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη μόνο όταν ο αριθμός $n$ έχει παράγοντες της μορφής:

$$n=2^a\cdot F_1\cdot F_2\cdot \dots \cdot F_s,$$

όπου οι $F_i$ είναι πρώτοι αριθμοί του Fermat, δηλαδή αριθμοί της μορφής:

$$F_n=2^{2^n}+1.$$

Γνωστοί πρώτοι του Fermat είναι οι:

$$3,5,17,257,65537.$$

Η περίπτωση του 17 ήταν η πρώτη που ξεπέρασε την «αρχαία γνώση», αφού ο Ευκλείδης είχε δώσει κατασκευές μόνο για πολύγωνα με 3, 4, 5, 6 πλευρές κ.ά.

---

Ιδιότητες του Επταδεκαγώνιου

Το επταδεκαγώνιο με πλευρά μήκους 1 έχει:

• Εγγεγραμμένο κύκλο (inradius):

$$r=\frac{1}{2}\cot \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{17}\right)$$

• Περιγεγραμμένο κύκλο (circumradius):

$$R=\frac{1}{2}\csc \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{17}\right)$$

• Εμβαδόν:

$$A=\frac{17}{4}\cot \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{17}\right)\mathrm{.}$$

Όλες αυτές οι ποσότητες μπορούν να εκφραστούν με πεπερασμένα ριζικά (κάτι εξαιρετικά σπάνιο).

---

Η Κατασκευή

Το πρώτο σχέδιο κατασκευής δόθηκε γύρω στο 1800 από τον Erchinger, και αργότερα πιο κομψές εκδοχές παρουσιάστηκαν από τον Richmond (1893) και άλλους.

Βήματα Κατασκευής (Richmond, 1893)

1. Κύκλος και διάμετρος
   Από ένα αυθαίρετο σημείο $O$, σχεδιάζουμε έναν κύκλο με κέντρο το $O$. Σχεδιάζουμε και μία διάμετρο.

2. Σημείο $P_1$
   Ορίζουμε το δεξί άκρο της διαμέτρου, το οποίο χωρίζει τον κύκλο σε ημικύκλιο, ως $P_1$.

3. Κάθετη διάμετρος
   Σχεδιάζουμε τη διάμετρο κάθετη στην αρχική, μέσω της μεσοκάθετης, και σημειώνουμε το άνω άκρο της ως $B$.

4. Σημείο $J$
   Βρίσκουμε το σημείο $J$, το οποίο βρίσκεται στο $\tfrac{1}{4}$ του τμήματος $OB$.

5. Σημείο $E$
   Ενώνουμε το $J$ με το $P_1$. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε το σημείο $E$ έτσι ώστε η γωνία $\mathrm{\angle }OJ\mathrm{E\; \nu \alpha \; \epsilon ί\nu \alpha \iota \; \tau o\; έ\nu \alpha \; \tau έ\tau \alpha \rho \tau o\; \tau \eta \varsigma \; \gamma \omega \nu ί\alpha \varsigma }$$\angle OJP_1$.

6. Σημείο $F$
   Σχεδιάζουμε το σημείο $F$ ώστε η γωνία $\angle EJF = 45^\circ$.

7. Ημικύκλιο με διάμετρο $FP_1$
   Κατασκευάζουμε ημικύκλιο με διάμετρο $FP_1$.

8. Σημείο $K$
   Αυτό το ημικύκλιο τέμνει το $OB$ στο σημείο $K$.

9. Ημικύκλιο με κέντρο $E$
   Κατασκευάζουμε ημικύκλιο με κέντρο το $E$ και ακτίνα $EK$.

10. Σημείο $N_4$
    Αυτό το ημικύκλιο τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα $OP_1$ στο σημείο $N_4$.

11. Κάθετη από το $N_4$
    Σχεδιάζουμε ευθεία κάθετη στο $OP_1$ που διέρχεται από το $N_4$.

12. Σημείο $P_4$
    Η κάθετη αυτή τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο σημείο $P_4$.

13. Δύο βασικά σημεία του επταδεκαγώνιου
    Τώρα έχουμε δύο σημεία του επταδεκαγώνιου: $P_1$ και $P_4$.

14. Τα υπόλοιπα σημεία
    Χρησιμοποιώντας τα $P_1$ και $P_4$, βρίσκουμε με αντίστοιχη διαδικασία όλα τα υπόλοιπα σημεία $P_2, P_3, \dots, P_{17}$.

15. Το επταδεκαγώνιο
    Ενώνουμε τα 17 σημεία διαδοχικά. Έτσι σχηματίζεται το κανονικό επταδεκαγώνιο.

---

Γιατί Είναι Σπουδαίο;

Η ανακάλυψη αυτή είχε τεράστια σημασία:

• Ο Gauss ένιωσε τόσο περήφανος που ζήτησε να χαραχθεί ένα επταδεκαγώνιο στον τάφο του.

• Το επταδεκαγώνιο έγινε το πρώτο παράδειγμα που έδειξε πως οι αρχαίες γεωμετρικές μέθοδοι δεν είχαν εξαντληθεί.

• Η σύνδεση γεωμετρίας – θεωρίας αριθμών μέσα από τους πρώτους του Fermat έφερε μια νέα εποχή στα μαθηματικά.

---

✦ Το επταδεκαγώνιο είναι περισσότερο από ένα «σπάνιο πολύγωνο». Είναι το σύμβολο της δύναμης της μαθηματικής σκέψης, που επιτρέπει να συνδέουμε την αφαίρεση με την κατασκευή, τη θεωρία με την πράξη.