Όρια όταν το x τείνει σε σταθερά: Πλήρης οδηγός χωρίς L’Hospital, με παραδείγματα και ασκήσεις

Στο άρθρο αυτό εξετάζεται ο υπολογισμός ορίων της μορφής $\lim_{x\to a} f(x)$ με τη χρήση αλγεβρικών τεχνικών και βασικών ταυτοτήτων, χωρίς εφαρμογή του κανόνα L’Hospital. 

Παρουσιάζονται τα βασικά βήματα, οι συχνότερες απροσδιόριστες μορφές και οι μέθοδοι αντιμετώπισής τους, μαζί με χαρακτηριστικά παραδείγματα και ασκήσεις με σύντομες λύσεις.

1) Τα 5 πρώτα βήματα (checklist)

1. Άμεση αντικατάσταση: Αν με \(x=a\) προκύπτει πραγματικός αριθμός, αυτό είναι το όριο.
2. Μορφή \(\,0/0\,\) ή \(\,\infty/\infty\,\): Απαιτείται αλγεβρική επεξεργασία.
3. Παραγοντοποίηση – απλοποίηση: Αναζητούμε και απαλείφουμε κοινό παράγοντα.
4. Συζυγής (για ριζικά): Πολλαπλασιάζουμε με τον συζυγή για απαλοιφή ρίζας.
5. Ειδικά τριγωνομετρικά όρια: \(\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1\), \(\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{1-\cos t}{t}=0\).

Πλευρικά όρια: Με απόλυτες τιμές, εξετάζουμε χωριστά \(\lim_{x\to 0^+}\) και \(\lim_{x\to 0^-}\).

2) Συχνές απροσδιόριστες μορφές & τεχνικές

• \(\displaystyle \dfrac{0}{0}\): παραγοντοποίηση, συζυγής, απλοποίηση κοινού παράγοντα.
• \(\infty-\infty\): κοινός παρονομαστής ή συζυγής.
• \(0\cdot\infty\): μετατροπή σε κλάσμα (π.χ. \(\dfrac{0}{1/\infty}\)).
• \(1^\infty,\,0^0,\,\infty^0\): γράφουμε \(f(x)^{g(x)}=e^{\,g(x)\ln f(x)}\) και δουλεύουμε τον εκθέτη.

3) Παραδείγματα

Παράδειγμα Α — Παραγοντοποίηση

\[ \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2} =\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} =2+2=4. \]

Παράδειγμα Β — Συζυγής

\[ \lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1} =\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\tfrac12. \]

Παράδειγμα Γ — Μορφή \(\infty-\infty\)

\[ \lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}}{x} =\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2+x}=+\infty. \]

Παράδειγμα Δ — Τριγωνομετρικό

\[ \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(5x)}{x} =5\cdot\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(5x)}{5x}=5. \]

Παράδειγμα Ε — Απόλυτες τιμές

\[ \lim_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}= \begin{cases} 1,& x\to 0^+\\ -1,& x\to 0^- \end{cases} \quad\Rightarrow\ \text{το όριο δεν υπάρχει.} \]

4) Μικρά μυστικά

• Σε ρητές συναρτήσεις, διαιρούμε με τη μεγαλύτερη δύναμη του \(x\).
• Χρήσιμη ταυτότητα: \(\sqrt{A}-\sqrt{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}\).
• Για \(t\to 0\): \(\sin t\sim t,\; 1-\cos t\sim \tfrac{t^2}{2}\).
• Με απόλυτες τιμές: ελέγχουμε πάντα πλευρικά όρια.

5) Mini-bank ασκήσεων (με σύντομες λύσεις)

1. \(\displaystyle \lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=5\) (παραγοντοποίηση)
2. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+3x}-1}{x}=\tfrac32\) (συζυγής)
3. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(7x)-7x}{x}=0\) (χρησιμοποιούμε \(\sin t\sim t\))
4. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(4x)}{x^2}=8\) (με \(\,1-\cos t\sim \tfrac{t^2}{2}\))
5. \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\) (συζυγής)
6. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}\) — δεν υπάρχει (διαφορετικά πλευρικά)
7. Να βρεθεί \(a\) ώστε \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=a\) και \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=3a\).
   Λύση: πρώτο \(=2\Rightarrow a=2\), δεύτερο \(=3\Rightarrow a=1\). Ασύμβατο (παγίδα).
8. Να βρεθούν οι σταθερές \(A,B\) ώστε \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+Ax}-\sqrt{1+Bx}}{x}=2\).
   Λύση (πατήστε για εμφάνιση)

   \[ \frac{\sqrt{1+Ax}-\sqrt{1+Bx}}{x} =\frac{A-B}{\sqrt{1+Ax}+\sqrt{1+Bx}}. \] Άρα το όριο είναι \(\tfrac{A-B}{2}=2 \;\Rightarrow\; A-B=4\).
9. \(\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2},& x\ne 2,\\ k,& x=2.\end{cases}\)
   Να βρεθεί το \(k\) ώστε \(\lim_{x\to 2}f(x)=f(2)\).
   Λύση: \(\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to 4\Rightarrow k=4\).
10. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0\).
    Θέτουμε \(x=\dfrac1t\), \(t\to +\infty\Rightarrow -\dfrac{\ln t}{t}\to 0\).