Η (α) μετά από πράξεις γίνεται (α+β)(α-β)^2>=0 που προφανώς ισχύει
Η (β) γίνεται (β)<=> 8(α^3+β^3+γ^3)>=3(α+β)(β+γ)(γ+α) <=> Άρα λαμβάνοντας κυκλικά τις : 4(α^3+β^3)>=(α+β)^3 4(β^3+γ^3)>=(β+γ)^3 4(α^3+γ^3)>=(γ+α)^3 Τις προσθέτουμε και παίρνουμε 8(α^3+β^3+γ^3)>=(α+β)^3+(β+γ)^3+(γ+α)^3 Άρα αρκεί (α+β)^3+(β+γ)^3+(γ+α)^3 >= 3(α+β)(β+γ)(γ+α) που ισχύει από απλή εφαρμογή γεωμετρικού αριθμητικού μέσου
Η (α) μετά από πράξεις γίνεται
ΑπάντησηΔιαγραφή(α+β)(α-β)^2>=0 που προφανώς ισχύει
Η (β) γίνεται
(β)<=> 8(α^3+β^3+γ^3)>=3(α+β)(β+γ)(γ+α) <=>
Άρα λαμβάνοντας κυκλικά τις :
4(α^3+β^3)>=(α+β)^3
4(β^3+γ^3)>=(β+γ)^3
4(α^3+γ^3)>=(γ+α)^3
Τις προσθέτουμε και παίρνουμε
8(α^3+β^3+γ^3)>=(α+β)^3+(β+γ)^3+(γ+α)^3
Άρα αρκεί
(α+β)^3+(β+γ)^3+(γ+α)^3 >= 3(α+β)(β+γ)(γ+α)
που ισχύει από απλή εφαρμογή γεωμετρικού αριθμητικού μέσου
ΔΔΛ_Β