▪Παραμετρικές Εξισώσεις Έλλειψης

Έστω η έλλειψη 

$C: \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{β^2}=1$ 

και ένα σημείο $M(x,y)$ του καρτεσιανού επιπέδου.

— Αν το $M(x,y)$ ανήκει στην έλλειψη $C$, τότε θα ισχύει 

$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{β^2}=1$,

οπότε θα έχουμε

$(\frac{x}{a})^2+ (\frac{y}{β})^2=1$.

Επομένως, το σημείο $Ν(\frac{x}{a}, \frac{y}{β})$ θα ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο, οπότε θα υπάρχει γωνία $φε[0,2π)$, τέτοια, ώστε

$\frac{x}{a}=συνφ$  και  $\frac{y}{β}=ημφ$

δηλαδή

$x=ασυνφ$  και $y=βημφ$.        (1)

— Αντιστρόφως, αν ισχύουν οι (1) για κάποια γωνία $φε[0,2π)$, τότε το σημείο $M(x,y)$ θα ανήκει στην έλλειψη $C$, αφού

$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{β^2}=\frac{a^2συν^{2}φ}{α^2}+\frac{β^2ημ^{2}φ}{β^2}=1$.

Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων $M(x,y)$ της έλλειψης $C$ και μόνο αυτές ικανοποιούν τις εξισώσεις

$x=ασυνφ$ και $y=βημφ$,   $φ\in[0,2π)$.

Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης $C$. Σύμφωνα με τις παραμετρικές εξισώσεις το σημείο $M(ασυνφ, βημφ)$ της έλλειψης προσδιορίζεται ως εξής:

Γράφουμε τους κύκλους $C_1$ και $C_2$ με κέντρο $Ο$ και ακτίνες $β$ και ααντιστοίχως και φέρνουμε μια ημιευθεία $Ot$ , έτσι ώστε $\angle(Ox, Ot)=φ$. Αν η ημιευθεία $Ot$ τέμνει τους $C_1$ και $C_2$ στα σημεία $M_1$ και $M_2$ αντιστοίχως και οι παράλληλες από τα $M_1,M_2$ προς τους άξονες $x'x$, $y'y$, αντιστοίχως, τέμνονται στο σημείο $Μ$, τότε το $Μ$ θα ανήκει στην έλλειψη $C$. Πράγματι, το σημείο $M_1$ θα έχει συντεταγμένες $(βσυνφ,βημφ)$, ενώ το $M_2$ θα έχει συντεταγμένες $(ασυνφ,αημφ)$. Άρα, οι συντεταγμένες του $Μ$ θα είναι $(ασυνφ, βημφ)$.