Ο Johann Bernoulli, το 1696 έθεσε στο Acta Eruditorum το εξής πρόβληµα:
"Να ϐρεθεί η καµπύλη που συνδέει δύο σηµεία σε ένα κατακόρυφο επίπεδο και κατά µήκος της οποίας ένα σωµατίδιο χρειάζεται τον µικρότερο δυνατό χρόνο να γλιστρήσει από το ένα σηµείο στο άλλο."
Η καµπύλη αυτή ονοµάζεται Βραχυστόχρονη ή Καµπύλη ταχύτερης καθόδου.
Νομίζω ότι οι χρόνοι που δίνει το μοντέλο είναι λάθος. Πρώτα φτάνει η σφαίρα που κυλάει στην κόκκινη καμπύλη, δεύτερη αυτή του κεκλιμένου ευθ. τμήματος και 3η η σφαίρα της ελεύθερης και μετά οριζόντιας πορείας! Κάποιος φυσικός ας βοηθήσει.
ΑπάντησηΔιαγραφήΒρε παιδιά από τριγωνική ανισότητα δεν γνωρίζουμε ότι το μήκος μιας πλευράς είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων;; Άρα η σφαίρα της υποτείνουσας έχει να διανύσει μικρότερη απόσταση από την σφαίρα που θα κινηθεί στις δύο κάθετες πλευρές, σωστά;; Πολύ ωραία ανάρτηση!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυμφωνώ φυσικά με το Γιώργο και κατ’ επέκταση με τους Bernoulli, Newton, Leibnitz κ.ά.:-) και θα ήθελα να προσθέσω το εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ χρόνος κάθε διαδρομής είναι ο λόγος του μήκους της προς τη μέση ταχύτητα. Η κυκλοειδής είναι η διαδρομή ελάχιστου χρόνου, αφού όπως αποδεικνύεται θεωρητικά, έχει το μικρότερο αυτό λόγο. Αυτό εξηγείται νομίζω από το γεγονός ότι, σε αυτή την περίπτωση, μεγαλύτερο μέρος της αρχικής δυναμικής ενέργειας της σφαίρας μετατρέπεται σε κινητική (δηλαδή μεγαλύτερη αύξηση ταχύτητας), αφού το χαμηλότερο σημείο της είναι πιο κάτω υψομετρικά από ό,τι στις άλλες διαδρομές και αρκετά κοντά στο τελικό σημείο, ώστε η απώλεια ταχύτητας στην ανηφόρα να είναι πολύ μικρή. Το αποτέλεσμα ισχύει βέβαια σε θεωρητικές συνθήκες, δηλαδή απουσία τριβών. Αν υπήρχαν τριβές, αυτές θα επηρέαζαν περισσότερο (αρνητικά) την ταχύτητα σε μια διαδρομή μεγαλύτερου μήκους, οπότε δεν είναι βέβαιο, υποθέτω, ότι η κυκλοειδής σε μια τέτοια περίπτωση θα παρέμενε η βραχυστόχρονη διαδρομή.
Σε ευχαριστούμε πολύ, τώρα το κατάλαβα!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιώργη Ριζόπουλε,
ΑπάντησηΔιαγραφήΣου εύχομαι ολόψυχα, με αυτή την ευκαιρία, μηκιστόχρονο το βίο και βραχυστόχρονη την περίοδο μέχρι την επιστροφή στα πάτρια εδάφη, την οικογένεια και τους φίλους σου (δικτυακούς και μη)!. Να είσαι πάντα καλά.
Θανάσης
Ευχαριστώ Γιώργη, εξαιρετικά ενδιαφέρουσα πραγματικά η παραπομπή που έδωσες με την συμπερίληψη στο μοντέλο και των δυνάμεων τριβής.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυμφωνώ επίσης ότι, σε κάθε περίπτωση, η σειρά κατάταξης των διαδρομών δεν αλλάζει, με την κυκλοειδή να παραμένει η συντομότερη και την κεκλιμένη η πιο αργή από τις τρεις.
Θα διορθώσω εν μέρει την εξήγηση που επιχείρησα στο προηγούμενο σχόλιό μου για την κυκλοειδή: δεν είναι απαραίτητο η καμπύλη αυτή να κατεβαίνει χαμηλότερα από τις άλλες διαδρομές για να ‘χτίσει’ μεγαλύτερη μέση ταχύτητα. Αρκεί για αυτό η αρκετά απότομη αρχική κάθοδός της, με την οποία αποκτά γρήγορα τέτοια ταχύτητα που επιτρέπει εν συνεχεία στη σφαίρα, όταν πάει να οριζοντιωθεί, να αφιχθεί στο τελικό σημείο σε πολύ σύντομο χρόνο.
Να προσθέσω επίσης πως το γεγονός ότι η κυκλοειδής είναι η βραχυστόχρονη διαδρομή συνδέεται με μια καταπληκτική της ιδιότητα: από οποιοδήποτε σημείο της κι αν αφήσουμε ένα σώμα να κυλίσει ελεύθερα πάνω της, αυτό θα φτάσει στο χαμηλότερο σημείο της στον ίδιο ακριβώς χρόνο.
Θα αναφέρω τέλος, ότι το θέμα εκτός από θεωρητικό ενδιαφέρον έχει και αξιοσημείωτες πρακτικές εφαρμογές, όπως ο σχεδιασμός της διαδρομής στο τρενάκι του λούνα παρκ (roller coaster), ο σχεδιασμός ή η επιλογή διαδρομών κατάβασης στο σκι, η επιλογή τροχιάς πάνω στο κύμα στο surfing, τα κόλπα που βλέπουμε να κάνουν κάποιοι με τη σανίδα πάνω σε ειδικά διαμορφωμένες καμπύλες επιφάνειες (skate park bowls) κ.ά.