▪ Αρχική συνάρτηση (II)

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $Δ$. Αν $F$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, τότε

● όλες οι συναρτήσεις της μορφής

$G(x) = F(x) + c$, $c ϵ R$

είναι παράγουσες της $f$ στο $Δ$ και

● κάθε άλλη παράγουσα $G$ της $f$ στο $Δ$ παίρνει τη μορφή

$G(x) = F(x) + c$, $c ϵ R$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

● Κάθε συνάρτηση της μορφής $G(x) = F(x) + c$, όπου $c ϵ R$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, αφού

$G'(x) = (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$

για κάθε $x ϵ Δ$.

● Έστω $G$ είναι μια άλλη παράγουσα της $f$ στο $Δ$. Τότε για κάθε $x ϵ Δ$ ισχύουν $F'(x) = f(x)$ και $G'(x) = f(x)$, οπότε

$G'(x) = F'(x)$

για κάθε $x ϵ Δ$.

Άρα, υπάρχει σταθερά $c$ τέτοια, ώστε

$G(x) = F(x) + c$

για κάθε $x ϵ Δ$. ■

Από το σχολικό βιβλίο "Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου".