
ΘΕΩΡΗΜΑ
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $Δ$. Αν $F$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, τότε
● όλες οι συναρτήσεις της μορφής
$G(x) = F(x) + c$, $c ϵ R$
είναι παράγουσες της $f$ στο $Δ$ και
● κάθε άλλη παράγουσα $G$ της $f$ στο $Δ$ παίρνει τη μορφή
$G(x) = F(x) + c$, $c ϵ R$.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
● Κάθε συνάρτηση της μορφής $G(x) = F(x) + c$, όπου $c ϵ R$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, αφού
$G'(x) = (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$
για κάθε $x ϵ Δ$.
● Έστω $G$ είναι μια άλλη παράγουσα της $f$ στο $Δ$. Τότε για κάθε $x ϵ Δ$ ισχύουν $F'(x) = f(x)$ και $G'(x) = f(x)$, οπότε
$G'(x) = F'(x)$
για κάθε $x ϵ Δ$.
Άρα, υπάρχει σταθερά $c$ τέτοια, ώστε
$G(x) = F(x) + c$
για κάθε $x ϵ Δ$. ■
Από το σχολικό βιβλίο "Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου".
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου