Μια οικογένεια έχει 4 παιδιά με διαφορετικές ηλικίες, ο μικρότερος γιος της οικογένειας ο Γιάννης είναι το λιγότερο 2 ετών και η Μαρία, το μεγαλύτερο παιδί της οικογένειας είναι το πολύ 16 ετών.
Οι ηλικίες των τεσσάρων παιδιών είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Πριν από ένα χρόνο ακριβώς από σήμερα το τετράγωνο της ηλικίας της Μαρίας ήταν ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ηλικιών των άλλων τριών παιδιών.
Σε ένα χρόνο από σήμερα το άθροισμα των τετραγώνων της ηλικίας της Μαρίας και του Γιάννη θα ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των ηλικιών των άλλων δυο παιδιών. Ποιες είναι σήμερα οι ηλικίες των τεσσάρων παιδιών;
Αν $x,y,z,n$ οι ηλικίες των παιδιών από το μικρότερο (Γιάννης) προς το μεγαλύτερο (Μαρία) τότε:
ΑπάντησηΔιαγραφή$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=(n-1)^2 $
$(x+1)^2+(n+1)^2=(y+1)^2+(z+1)^2$
Όμως αντί να προσπαθήσω να λύσω το σύστημα των δύο εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους έκανα δοκιμές και ελέγχους με βάση την ...προπαίδεια των τετραγώνων.
$…..........................$
$2^2+3^2+6^2=7^2$,
όμως $4^2+9^2=97$ και $5^2+8^2=89$
άρα απορρίπτεται.
$.............................$
$2^2+5^2+14^2=225=15^2$
και επειδή $4^2+17^2=7^2+16^2=305$,
άρα μια λύση είναι $x=3,y=6,z=15,n=16$
$.............................$
$2^2+6^2+9^2=11^2$
και επειδή $4^2+13^2=8^2+11^2=185$
άρα $2$η λύση $x=3, y=7,z=10,n=12$
Πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις,
αλλά με κούρασε η ...προπαίδεια :-)
και δεν συνεχίζω τον έλεγχο.
Νομίζω ότι υπάρχει και θεωρητικός τρόπος να αποδείξουμε ότι οι δύο λύσεις του Ευθύμη είναι και οι μοναδικές.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑθροίζοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις και μετά τις σχετικές αναγωγές, καταλήγουμε στη σχέση Χ^2+2*n+1=2*y+2*z, από όπου συνεπάγεται ότι ο Χ είναι περιττός.
Αν Χ=5, η ανωτέρω σχέση γίνεται n+13=y+z, και λόγω των περιορισμών y5, δεν υπάρχουν y,z που να ικανοποιούν τη σχέση. Επομένως Χ=3, οπότε η ανωτέρω σχέση γίνεται n+5=y+z (3)
Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο αρχικές εξισώσεις, και μετά τις αναγωγές καταλήγουμε στην y^2+z^2=n^2+5, που σε συνδυασμό με την (3), καταλήγει τελικά στην 5*y+5*z=15+yz. (4). Επομένως, τουλάχιστον ένα εκ των y,z πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 5.
Υπάρχουν 4 ενδεχόμενα:
1. y=5, όπου η (4) δεν έχει λύση
2. y=10, η οποία καταλήγει σε z=7, άτοπο, καθώς πρέπει z>y
3. z=10, η οποία οδηγεί στη δεύτερη λύση του Ευθύμη
4. z=15, η οποία οδηγεί στη πρώτη λύση του Ευθύμη