Θεωρούμε τις συναρτήσεις 
με
με
και 
.
α) Να αποδείξετε ότι η 
είναι γνησίως αύξουσα στο 
είναι γνησίως αύξουσα στο
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της .
.
γ) Να αποδείξετε ότι η 
έχει άπειρα κρίσιμα σημεία.
έχει άπειρα κρίσιμα σημεία.
δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει
για κάθε 
ε) Να αποδείξετε ότι η έχει μοναδική ρίζα 
, η οποία βρίσκεται στο διάστημα 
έχει μοναδική ρίζα , η οποία βρίσκεται στο διάστημα
στ) Να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν 
του χωρίου, το οποίο περικλείεται από την 
και τους άξονες 
ισχύει
του χωρίου, το οποίο περικλείεται από την και τους άξονες ισχύει
.
Για το πρώτο ερώτημα (αυτό πρόλαβα).
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω η συνάρτηση φ(χ)=1+xe^x-e^x+x^2e^x.
Η συγκεκριμένη συνάρτηση στο διάστημα [-3,+άπειρο) έχει ελάχιστο το φ(0)=0.
Ισχύει ότι f΄(x)=φ(συνx) με -1==0 και επομένως f΄(x)>=0.
Η ισότητα ισχύει για x=κπ+π/2 (όπου συνx=0)
δλδ f΄(x)>0 για x διαφορετικό από το κπ+π/2 με την f όμως να είναι συνεχής στο R.
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.