Ένα σκαθάρι ξεκινά ένα ταξίδι. Την πρώτη μέρα σέρνεται $1$ m σε ευθεία γραμμή. Τη δεύτερη μέρα κάνει ορθογώνια στροφή (και προς τις δύο κατευθύνσεις) και σέρνεται $2$ μέτρα σε ευθεία γραμμή.
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ημερών πριν το σκαθάρι βρεθεί ξανά στην αφετηρία του;
Ας υποθέσουμε ότι το σκαθάρι βρίσκεται αρχικά στην αρχή (0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων χ,ψ και ΧΒΓ κάνει τις μονές μέρες κίνηση παράλληλη στον άξονα ψ και τις ζυγές μέρες κίνηση παράλληλη στον άξονα χ. Με αυτό τον τρόπο, η συντεταγμένη ψ μεταβάλλεται τις μέρες 1,3,5,7,.. κατά +-1, +-3, +-5, +-7,.. και η συντεταγμένη χ μεταβάλλεται τις μέρες 2,4,6,8,.. κατά +-2,+-4, +-6, +-8,.. αντιστοίχως. Για να μηδενιστούν ξανά και οι δύο συντεταγμένες, χρειάζονται συνολικά τουλάχιστον 8 μέρες, δηλαδή 4 μονές και 4 ζυγές, αφού +1-3-5+7=0 και +2-4-6-8=0 (ή με αντίθετα τα πρόσημα), πράγμα που δεν μπορεί να συμβεί νωρίτερα. Έτσι, σε 8 μέρες, μπορούμε από την αρχική θέση (0,0) να έχουμε σε 8 μέρες την εξής π.χ. διαδοχή θέσεων του σκαθαριού από μέρα σε μέρα:
ΑπάντησηΔιαγραφή(0,1), (2,1), (2,-2), (-2,-2), (-2,-7), (-8,-7), (-8,0), (0,0)