Η Όμορφη Απόδειξη ότι $\pi < \frac{22}{7}$

Ο Διαγωνισμός Putnam του 1968 περιλάμβανε μια εκπληκτική απόδειξη για την ανισότητα $\pi < \frac{22}{7}$ μέσω ενός απλού ολοκληρώματος: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^4 (1 - x)^4}{1 + x^2} \, dx = \frac{22}{7} - \pi \] 

Ανάλυση: 

Το ολοκλήρωμα είναι θετικό διότι: 

• Ο αριθμητής $x^4 (1 - x)^4$ είναι πάντα μη αρνητικός στην περιοχή $[0, 1]$ και μηδενίζεται μόνο στα άκρα του διαστήματος. 
• Ο παρονομαστής $1 + x^2$ είναι πάντα θετικός. 

Επομένως, το ολοκλήρωμα πρέπει να είναι θετικό: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^4 (1 - x)^4}{1 + x^2} \, dx > 0 \] Αυτό σημαίνει ότι: \[ \frac{22}{7} - \pi > 0 \] ή αλλιώς: \[ \frac{22}{7} > \pi \] Ο μαθηματικός του Πανεπιστημίου του St Andrews, G.M. Phillips, σχολίασε χαρακτηριστικά: 

«Ποιος θα πει ότι τα μαθηματικά στερούνται χιούμορ;»