Εξι ομοκυκλικά σημεία

Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $ΑΔ, ΒΕ$ και $ΓΖ$ τα ύψη του. Έστω $Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. 

Εστω ότι οι κύκλοι $\displaystyle{ \left( {\Delta ,\Delta {\rm O}} \right),\;\left( {{\rm E},{\rm E}{\rm O}} \right),\;\left( {{\rm Z},{\rm Z}{\rm O}} \right) }$ τέμνουν τις ευθείες των πλευρών $ΒΓ, ΓΑ , ΑΒ$ αντίστοιχα στα ζεύγη των σημείων $\displaystyle{ {\rm A}_1 - {\rm A}_2 ,\;{\rm B}_1 - {\rm B}_2 ,\;\Gamma _1 - \Gamma _2 }$ (όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα). 

Να δειχθεί ότι τα $\displaystyle{ {\rm A}_1 ,{\rm A}_2 ,{\rm B}_1 ,{\rm B}_2 ,\Gamma _1 ,\Gamma _2 }$ είναι ομοκυκλικά.

Πηγή: mathematica