1. Nα αποδειχθεί ότι: \[ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n}{2} + \frac{n^2}{2}, \] για κάθε θετικό ακέραιο \( n \).
3. Nα αποδειχθεί ότι: \[ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}, \] για κάθε θετικό ακέραιο \( n \).
4. Αν \( n \in \mathbb{N} \), να αποδειχθεί ότι: \[ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}. \] 5. Αν \( n \in \mathbb{N} \), να αποδειχθεί ότι: \[ 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n = 2^{n+1} - 2. \] 6. Nα αποδειχθεί ότι: \[ \sum_{i=1}^n (8i - 5) = 4n^2 - n, \] για κάθε θετικό ακέραιο \( n \).
7. Αν \( n \in \mathbb{N} \), να αποδειχθεί ότι:\[ 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \cdots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}. \] 8. Αν \( n \in \mathbb{N} \), να αποδειχθεί ότι: \[ \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}. \] 9. Nα αποδειχθεί ότι: \[ 24 \mid (5^{2n} - 1), \] για κάθε ακέραιο \( n \geq 0 \). 10. Nα αποδειχθεί ότι: \[ 3 \mid (5^{2n} - 1), \] για κάθε ακέραιο \( n \geq 0 \). 11. Nα αποδειχθεί ότι: \[ 3 \mid (n^3 + 5n + 6), \] για κάθε ακέραιο \( n \geq 0 \). 12. Nα αποδειχθεί ότι: \[ 9 \mid (4^{3n} + 8), \] για κάθε ακέραιο \( n \geq 0 \). 13. Nα αποδειχθεί ότι: \[ 6 \mid (n^3 - n), \] για κάθε ακέραιο \( n \geq 0 \). 14. Έστω \( a \in \mathbb{Z} \). Nα αποδειχθεί ότι: \[ 5 \mid 2^n a \implies 5 \mid a, \] για κάθε \( n \in \mathbb{N} \).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου