Η Δυναμική της Συμμετρίας στην Ανισότητα του Schur

Η Ανισότητα του Schur

Η ανισότητα του Schur δηλώνει ότι για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $x$, $y$, $z$, και για $t > 0$, ισχύει: \[ x^t (x-y)(x-z) + y^t (y-z)(y-x) + z^t (z-x)(z-y) \geq 0 \] με ισότητα, αν και μόνο αν $x = y = z$ ή αν δύο από αυτά είναι ίσα και το άλλο μηδέν. Όταν $t = 1$, παίρνουμε την ειδική περίπτωση: \[ x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz \geq xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) \]

 

Απόδειξη

Εφόσον η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς $x$, $y$, $z$, μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς απώλεια γενικότητας, ότι $x \geq y \geq z$. Τότε, η ανισότητα: \[ (x-y)\left[x^t(x-z) - y^t(y-z)\right] + z^t(x-z)(y-z) \geq 0 \] ισχύει, καθώς κάθε όρος στην αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι μη αρνητικός. Αυτό οδηγεί στην αρχική ανισότητα του Schur.