Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [97]

 Του Γιώργου Μιχαηλίδη 

Δίνεται η συνάρτηση $f: (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, με τύπο: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{e^x}{x+1} \]

Δ1.i) Να αποδείξετε ότι: \[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x}{x+1}, \quad x \in (-1,+\infty) \] ii) Να εξετάσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξετε ότι είναι κυρτή.

Δ2. Να αποδείξετε ότι:

i) Η $f$ έχει ακριβώς δύο εφαπτομένες $ε_1, ε_2$, οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

ii) $ε_1 \perp ε_2$

Δ3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη: \[ (x-k) \cdot f''(x) \cdot f(x) = (f'(x))^2, \quad k>0 \] έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(k, k+1)$.

Δ4. Να αποδείξετε ότι: \[ \int_{0}^1 \frac{e^x-\sqrt{e}f(x)}{χ+1} \, dx = \frac{e}{2} - 1 \] Δ5. Να αποδείξετε ότι: \[ f(x+2) > f(x) + f'(x+1), \quad \forall x \in (0,+\infty) \]