Του Δημήτρη Σπαθάρα
Δίνεται η συνάρτηση \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) με \[ f(x) = (x+1)\ln x - (x-1)^2. \]
Δ1) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \( x_1 \in (1, e) \), στο οποίο η \( f \) παρουσιάζει ολικό μέγιστο.
Δ2) Βρείτε τα όρια
\( \lim_{x \to x_1} e^{\frac{1}{f(x) - f(x_1)}} \) και \( \lim_{x \to x_1} e^{\frac{-1}{f(x) - f(x_1)}} \).
Δ3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
\( f(x) + x = x_1 \) για \( x \in (1, x_1) \)
έχει μοναδική ρίζα \( x_2 \).
Δ4) Να δείξετε ότι
\( f(x_2)(f'(x) + 1) > f(x_1) \)
για κάθε \( x \in (0, x_2) \), όπου \( x_1 \) είναι το σημείο του ερωτήματος Δ1 που η \( f \) παρουσιάζει ολικό μέγιστο και \( x_2 \) είναι η ρίζα της εξίσωσης
\( f(x) + x = x_1 \)
του ερωτήματος Δ3.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου