Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [2]

 Του Γιάννη Τσομπανόπουλου  

Δίνεται η συνάρτηση 

\( f(x) = x e^x - \ln x \), \( x > 0 \).

i) Να δείξετε ότι η $C_f$ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε κάποιο \( x_0 \in (0, 1) \).

ii) Να δείξετε ότι η μοναδική ρίζα τηε εξίσωσης \[ x + \ln x = -\ln (x + 1) \quad , \quad x > 0 \] είναι το $x_0$ του ερωτήματος i).

iii) Νa δείξετε ότι \[ \dfrac{1 - x_0}{2} (1+ln2) < \int_{x_0}^{1} [x + \ln x + \ln (x + 1)] \, dx < \dfrac{(1 + \ln 2)^2}{5} \]

iv) Έστω \( g(x) = \dfrac{3}{2} x + \dfrac{3}{2} + \ln 2 - \ln x - \ln (x + 1) \), \( x > 0 \). 

Να δείξετε ότι εξίσωση \[ \int_{x_0}^{1} g(x) \, dx = G(x) - G(1) \]- όπου $G$ μία παράγουσα της \( g \) - έχει μοναδική λύση στο διάστημα \( (1, +∞) \)