Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Οκτώ ασκήσεις στο κύκλο

Άσκηση 1

Δίνεται η εξίσωση $x^2 + y^2 + 4\lambda x - 2y + 40 = 0, \lambda \in \mathbb{R}$.

1. Να βρείτε τις τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$, ώστε η εξίσωση να παριστάνει κύκλο.
2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει κύκλος με την πιο πάνω εξίσωση που να έχει κέντρο το σημείο $(-1, 1)$.

Άσκηση 2

Να αποδείξετε ότι αν η ευθεία $y = \lambda x + c$ εφάπτεται στον κύκλο με εξίσωση $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = R^2$, τότε $(\alpha \lambda - \beta + c)^2 = R^2 + \lambda^2 R^2$.

Άσκηση 3

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση $x^2 + y^2 = 10$. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου, οι οποίες:

1. είναι παράλληλες με την ευθεία $x + 3y = 2$.
2. είναι κάθετες με την ευθεία $x = 1$.
3. διέρχονται από το σημείο $A(0, 10)$.
4. που σχηματίζουν γωνία $45^\circ$ με τον άξονα των τετμημένων.

Άσκηση 4

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση $(C): x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 1 = 0$ με κέντρο $K(1, 4)$.

1. Να δείξετε ότι ο κύκλος $(C)$ εφάπτεται του άξονα των $x'x$.
2. Αν $(h, k)$ είναι το σημείο επαφής μιας άλλης εφαπτομένης του κύκλου που άγεται από το σημείο $(3, 0)$, να δείξετε ότι $h - 2k = 1$.

Άσκηση 5

Δίνεται κύκλος με εξίσωση $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 80 = 0$. Να βρείτε:

1. το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου.
2. τις τιμές του $\alpha \in \mathbb{R}$, ώστε ο κύκλος να αποκόπτει χορδή μήκους 16 μονάδων από την ευθεία $3x - 4y = \alpha$.

Άσκηση 6

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$.

1. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο $M(0, 1)$.
2. Αν $A, B$ είναι τα σημεία επαφής των πιο πάνω εφαπτομένων με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του $AMBK$, όπου $K$ το κέντρο του κύκλου.

Άσκηση 7

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου $\Sigma$, το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία $(\epsilon): x + 2y = 0$ και έχει δύναμη $\Delta_K(\Sigma) = 100$ ως προς τον κύκλο $(\kappa)$ με εξίσωση $x^2 + y^2 = 25$.

Άσκηση 8

Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που περνά από την αρχή των αξόνων, το κέντρο του βρίσκεται στο α' τεταρτημόριο των αξόνων, αποκόπτει χορδή μήκους 4 μονάδων από τον άξονα $x'x$ και υπάρχει σημείο $\Sigma(-1, 2)$ με δύναμη μιας μονάδας ως προς αυτόν.

Από το σχολικό βιβλίο των μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου της Κύπρου.