Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [3]

Δίνονται οι συναρτήσεις: 

$f(x) = \ln x - 1 + \frac{1}{x}$

και 

$g(x) = (x \ln x - x + 1) \ln x$

με $x \in (0, +\infty)$. 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) \ge 0$ 

για κάθε $x \in (0, +\infty)$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g$ ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g$ ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της $C_g$. 

δ) Αν $A$ είναι το σημείο καμπής της $C_g$ και $B(e, g(e))$, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_g$ και το ευθύγραμμο τμήμα $AB$.