EisatoponAI: Μαθηματική Απόδειξη με Τετράγωνα: Ένα Όμορφο Παράδειγμα

Θεώρημα:

Αν έχουμε δύο αριθμούς $a$ και $b$ έτσι ώστε το $ab + 1$ να είναι τετράγωνο, δηλαδή αν υπάρχει $m$ τέτοιο ώστε: \[ ab + 1 = m^2 \] τότε είναι πάντα δυνατό να βρούμε έναν αριθμό $c$ για τον οποίο τα $ac + 1$ και $bc + 1$ είναι και τα δύο τετράγωνα.

Παράδειγμα:

Έστω $a = 8$ και $b = 3$. Έχουμε:

\[ 8 \times 3 + 1 = 25 = 5^2. \]

Επιπλέον, αν θέσουμε $c = 21$, τότε:

\[ 8 \times 21 + 1 = 169 = 13^2 \quad \text{και} \quad 3 \times 21 + 1 = 64 = 8^2. \]

Απόδειξη:

Αν $ab + 1 = m^2$, τότε ορίζουμε τον αριθμό $c$ ως:
Τώρα εξετάζουμε τα $ac + 1$ και $bc + 1$:

$ ac + 1 = a(a + b + 2m) + 1 = a^2 + ab + 2am + 1 =$

$= a^2 + 2am + m^2 = (a + m)^2. $

$bc + 1 = b(a + b + 2m) + 1 = $

$=ab + b^2 + 2bm + 1 = b^2 + 2bm + m^2 = (b + m)^2.$Άρα, έχουμε δείξει ότι τόσο το $ac + 1$ όσο και το $bc + 1$ είναι τετράγωνα, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Πηγή: Via Edward Barbeau, Power Play, 1997.