Μαθηματική Απόδειξη με Τετράγωνα: Ένα Όμορφο Παράδειγμα

Θεώρημα: 

Αν έχουμε δύο αριθμούς \(a\) και \(b\) έτσι ώστε το \(ab + 1\) να είναι τετράγωνο, δηλαδή αν υπάρχει \(m\) τέτοιο ώστε: \[ ab + 1 = m^2 \] τότε είναι πάντα δυνατό να βρούμε έναν αριθμό \(c\) για τον οποίο τα \(ac + 1\) και \(bc + 1\) είναι και τα δύο τετράγωνα.

Παράδειγμα: 

Έστω \(a = 8\) και \(b = 3\). Έχουμε:

\[ 8 \times 3 + 1 = 25 = 5^2. \]

Επιπλέον, αν θέσουμε \(c = 21\), τότε:

\[ 8 \times 21 + 1 = 169 = 13^2 \quad \text{και} \quad 3 \times 21 + 1 = 64 = 8^2. \]

Απόδειξη:

1. Αν \(ab + 1 = m^2\), τότε ορίζουμε τον αριθμό \(c\) ως:
\[ c = a + b + 2m. \]
2. Τώρα εξετάζουμε τα \(ac + 1\) και \(bc + 1\):

• $ ac + 1 = a(a + b + 2m) + 1 = a^2 + ab + 2am + 1 =$

$= a^2 + 2am + m^2 = (a + m)^2. $

• $bc + 1 = b(a + b + 2m) + 1 = $

$=ab + b^2 + 2bm + 1 = b^2 + 2bm + m^2 = (b + m)^2.$

Άρα, έχουμε δείξει ότι τόσο το \(ac + 1\) όσο και το \(bc + 1\) είναι τετράγωνα, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Πηγή: Via Edward Barbeau, Power Play, 1997.