Ky Fan: Μια Ανισότητα που Αξίζει να Γνωρίζετε

O Ky Fan (1914-2010), ήταν καθηγητής για πολλά χρόνια στο πανεπιστήμιο Santa Barbara της Καλιφόρνιας των ΗΠΑ. Η ανισότητα αυτή, για πρώτη φορά, εμφανίστηκε το $1961$ στο βιβλίο των Beckenbach E.F, Bellman R. "Inequalities" Berlin, Springer 1961 και διατυπώνεται ως εξής:

Έστω $a_1, a_2, ..., a_n$ $(n \geq 2)$ θετικοί αριθμοί του διαστήματος $\left[0, \dfrac{1}{2}\right]$.

Θεωρούμε το μέσο αριθμητικό 

$A_n = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$ 

και τον μέσο γεωμετρικό 

$G_n = (a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n)^{\dfrac{1}{n}}$ 

των αριθμών αυτών. 

Επίσης θεωρούμε τους ανάλογους μέσους: 

$A_n' = \dfrac{(1-a_1) + (1-a_2) + ... + (1-a_n)}{n}$ 

και 

$G_n' = ((1-a_1) \cdot (1-a_2) \cdot ... \cdot (1-a_n))^{\dfrac{1}{n}}$ 

των αριθμών 

$1-a_1, 1-a_2, ..., 1-a_n$. 

Η ανισότητα Ky Fan για τους αριθμούς $a_1, a_2, ..., a_n$ είναι η ανισότητα: $$\dfrac{G_n}{G_n'} \leq \dfrac{A_n}{A_n'}$$ στην οποία η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν

 $a_1 = a_2 = ... = a_n$.