Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ από το study4exams

16. Δίνεται η συνάρτηση 

\( g(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 1}{x}, & x < 0 \\ 2\sqrt{x} + 1, & x \geq 0 \end{cases} \) 

και έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) για την οποία 

ισχύουν: 

• \( f(x) \neq 0 \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \) 
• \( f(0) = e \) 
• \( \dfrac{f'(x)}{f(x)} - e^x = 0 \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \) 

Δ1) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης \( g \). 

Δ2) Να βρείτε κατάλληλους \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) με \( \alpha < \beta \) τέτοιους ώστε για τη συνάρτηση \( g \) να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα \([ \alpha, \beta ]\). 

Δ3) Να αποδείξετε ότι: 

\( f(x) = e^{e^x}, x \in \mathbb{R} \). 

Δ4) Να μελετήσετε τη συνάρτηση \( f \) ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

Δ5) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( f \) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \( g \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \). 

Δ6) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μία εφαπτόμενη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \( f \) η οποία διέρχεται από το σημείο \( (0, 0) \). 

Δ7) Να αποδείξετε ότι: 

\( e^e + e > 2e^{\sqrt{e}} \).