Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [10]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x < 0 \\ \ln(e^x + x), & x \ge 0 \end{cases}$ 

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη συνέχεια: 

• i) στο πεδίο ορισμού της. 
• ii) στο διάστημα $[0, +\infty)$.  

 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, 0)$ και γνησίως αύξουσα στο $[0, +\infty)$. 

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$. 

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με την ευθεία $y=x$.

ε) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha > 0$, η εξίσωση 

$\dfrac{e^{f(x)} - f(x)}{x} + \dfrac{f(x)}{x - \alpha} = 0$ 

έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $(0, \alpha)$. 

στ) Να λύσετε την εξίσωση 

$f(e^{x^2} - 1) + f(|x| - |\eta \mu x|) = 0$. 

 ζ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.