Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [12]

Δίνονται οι συναρτήσεις 

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x}{x^x}, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ 

και 

$g(x) = \ln^2 x - \dfrac{1}{x}, \quad x > 0$. 

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0 = 0$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα. 

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x) = 0$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα $(0, +\infty)$. 

δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η $C_f$ έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής.