Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [1]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: 

• $f(e) = 1$
• $x^2 f'(x) + x f(x) - 1 = x$, για κάθε $x \in (0, +\infty)$ 

i) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + 1$, $x \in (0, +\infty)$. 

ii) Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$. 

iv) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ σε ένα ακριβώς σημείο. 

v) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 

vi) Να κατασκευάσετε πίνακα μεταβολών της $f$ και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση 

vii) Να βρείτε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης 

$\ln x + x - \alpha x = 0$ 

για τις διάφορες τιμές του $\alpha \in \mathbb{R}$. 

viii) α) Να δείξετε ότι η $f$ εφάπτεται στη διχοτόμο της γωνίας $xOy$ και να βρείτε το σημείο επαφής 

β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $y=x$ και $x=e$.