Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [20]

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: 

• $f(0) = 1$ 
• $f(x) > 0$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$ 
• $f'(x) = \dfrac{(1 + e^x) f(x)}{1 + f(x)}$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = e^x$, $x \in \mathbb{R}$. 

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 

$g(x) = xf\left(\dfrac{1}{x}\right)$, $x \in \mathbb{R}^*$. 

γ) Να αποδείξετε ότι

 $\dfrac{\alpha + 2\beta}{3} < \ln\left(\dfrac{e^\alpha + 2e^\beta}{3}\right)$ 

για κάθε $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, με $\alpha < \beta$. 

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, την παραβολή $y = x^2 + 1$ και την ευθεία $x = 1$.