Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [17]

 Του Δημήτρη Ουντζούδη  

Δίνεται η συνάρτηση $f: \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}$ με $$f(x) = \kappa \eta \mu x - x$$

όπου $\kappa > 1$ σταθερός πραγματικός αριθμός. 

α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του $\kappa > 1$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. 

β) i) Να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά $x_1, x_2 \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ με $x_1 < x_2$, τέτοια ώστε η $f$ να παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο $x_1$ και τοπικό μέγιστο στο $x_2$. 

ii) Να δείξετε ότι τα σημεία $A(x_1, f(x_1))$ και $B(x_2, f(x_2))$ είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. 

γ) Αν $x_2$ είναι ο αριθμός που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος μέσης τιμής της συνάρτησης

 $g(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$, $\alpha \neq 0$ 

στο διάστημα $\left[0, \dfrac{2\pi}{3}\right]$ και η απόσταση των τιμών των τοπικών ακροτάτων είναι $2\sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3}$, τότε να δείξετε ότι $x_2 = \dfrac{\pi}{3}$ και $\kappa = 2$. 

δ) Να αποδείξετε ότι: 

$ \int_{0}^{1} f(x) \sqrt{x^2 + 1} dx < \dfrac{2\sqrt{2} - 1}{3}. $