Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [21]

 Του Βασίλη Κουγιουμτσιάδη  

Δίνεται η συνάρτηση $f :(0, +∞ )→R$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,+∞)$ και για την οποία ισχύουν ότι:

• Η γραφική της παράστασης εφάπτεται στον άξονα $x'x$, στο σημείο με τετμημένη $x_0 = 1$ και 
• $x \cdot f'(x) + x^2 \cdot f''(x) = 2$, για κάθε $x \in (0, +\infty)$ 

Δ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση 

$G(x) = x \cdot f'(x) - 2 \ln x$ 

είναι σταθερή στο $(0, +\infty)$ και να βρείτε την $f$. 

Αν 

$f(x) = (\ln x)^2$, $x > 0$ 

Δ2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

Δ3. Να βρείτε το όριο 

$\lim_{x \to 1^+} \left[ \dfrac{1}{f(x)} - \dfrac{1}{(x-1)^2} \right]$. 

Δ4. Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής και στην συνέχεια να λύσετε την ανίσωση 

$e \cdot (\ln x)^2 + e \leq 2x$, $x > 0$. 

Δ5. Να αποδείξετε ότι 

$\int_1^2 \dfrac{f(x)}{e^x} dx < \dfrac{2e-5}{e^2}$. 

Δ6. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της $f$ τον άξονα $x'x$ και την ευθεία $x = e$.