Στα μαθηματικά, ο Πίνακας Hadamard, ο οποίος πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Jacques Hadamard, είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που περιέχει μόνο τα στοιχεία \(+1\) ή \(-1\).
Η ιδιαίτερη γεωμετρική ιδιότητά του είναι ότι οι σειρές του πίνακα είναι αμοιβαία ορθογώνιες.
Γεωμετρική Ερμηνεία
Με γεωμετρικούς όρους, αυτό σημαίνει ότι κάθε ζεύγος σειρών σε έναν πίνακα Hadamard αντιπροσωπεύει δύο κάθετα διανύσματα. Δηλαδή, το εσωτερικό γινόμενο (ή η εσωτερική τους γωνία) είναι μηδέν, κάτι που σημαίνει ότι είναι κάθετα μεταξύ τους.
Συνδυαστική Ερμηνεία
Αντίστοιχα, σε συνδυαστικούς όρους, σημαίνει ότι κάθε ζεύγος σειρών έχει αντίστοιχα στοιχεία στο μισό ακριβώς των στηλών τους και αναντιστοιχίες στις υπόλοιπες στήλες. Αυτό επιτρέπει την κατασκευή ενός πίνακα με αμοιβαία ορθογώνιες σειρές.
Ιδιότητες και Εφαρμογές
Οι πίνακες Hadamard έχουν πολύ σημαντική εφαρμογή στις θεωρίες του κρυπτογραφικού σχεδιασμού, της γραμμικής άλγεβρας και της ανάλυσης σήματος. Η μέγιστη δυνατή "$n$-διάστατη" επιφάνεια μεταξύ των διανυσμάτων των σειρών τους οδηγεί σε μοναδικές γεωμετρικές δομές και μέγιστο όγκο.
Γενική Μορφή
Για τις πρώτες τιμές του \( H \), έχουμε: \[ H_1 = [1] \] \[ H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \] \[ H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \] Η γενική μορφή για \( H_{2k} \) είναι: \[ H_{2k} = \begin{bmatrix} H_{2k-1} & H_{2k-1} \\ H_{2k-1} & -H_{2k-1} \end{bmatrix} = H_2 \otimes H_{2k-1} \] όπου το σύμβολο \( \otimes \) αντιπροσωπεύει το γινόμενο Kronecker.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου