Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [14]

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

1. Είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$.
2. Παρουσιάζει μέγιστο στη θέση $x_0$ με τιμή $f(x_0) = 2x_0$.
3. $f'(x) < 0$ για κάθε $x \in (0, x_0]$. 
4. Έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $y = 0$.

α) Να υπολογίσετε (αν υπάρχουν) τα όρια:

i) $\lim_{x \to 1} \dfrac{1}{f(x)}$

ii) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + f(x)}{\sqrt{x^2 + 1} - 1}$ 

iii) $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - 2x}{(x - x_0)f(x)}$ 

β) Να αποδείξετε ότι ισχύει 

$0 < \dfrac{2x_0}{x_0 - 1} < f'(1)$.

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_1 \in (1, x_0)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ στο σημείο $(x_1, f(x_1))$ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

δ) Αν $E(\Omega)$ το εμβαδό του επιπέδου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x'x$ και την ευθεία $x = x_0$, να αποδείξετε ότι: $$E(\Omega) < 2x_0(x_0 - 1)$$