Ασυμπτωτική Ανάλυση και Εφαρμογές του Νόμου του Stirling

Το όριο\[ \lim_{n \to \infty} \frac{e^n n!}{n^n \cdot \sqrt{n}} = \sqrt{2\pi} \] βασίζεται στην ασυμπτωτική προσέγγιση του παραγοντικού \(n!\) μέσω του Νόμου του Stirling.

Νόμος του Stirling

Ο Νόμος του Stirling είναι μια προσέγγιση του παραγοντικού \(n!\) για μεγάλες τιμές του \(n\), και εκφράζεται ως: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \] Εξήγηση του Ορίου 

Χρησιμοποιώντας την ασυμπτωτική προσέγγιση από τον Νόμο του Stirling, μπορούμε να αποδείξουμε ότι: \[ \frac{e^n n!}{n^n \cdot \sqrt{n}} \sim \sqrt{2\pi} \] καθώς \(n \to \infty\). 

Το αποτέλεσμα αυτό έχει σημαντικές εφαρμογές: 

• Θεωρία Πιθανοτήτων: Χρησιμοποιείται για προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων. 
• Συνδυαστική: Βοηθά στην ανάλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν παραγοντικά. 
• Ανάλυση: Εμφανίζεται σε ολοκληρώματα με εκθετικούς και παραγοντικούς όρους.