Πρόβλημα 1
Ένας ακέραιος αριθμός $n>1$ ονομάζεται καλός αν υπάρχει μετάθεση $a_1,a_2,\ldots,a_n$ των αριθμών $1,2,\ldots,n$ τέτοια, ώστε:
- (1) ο $a_i$ και ο $a_{i+1}$ να έχουν διαφορετική αρτιότητα για κάθε $1 \leq i \leq n-1$
- (2) το άθροισμα $a_1+a_2+\ldots+a_k$ να είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\pmod n$, για κάθε $1 \leq k \leq n$.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι καλοί αριθμοί, καθώς και άπειροι αριθμοί οι οποίοι δεν είναι καλοί.
Πρόβλημα 2
Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο $H$ και έστω $D$ ένα οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο της πλευράς $BC$. Τα σημεία E και F βρίσκονται στα ευθύγραμμα τμήματα $AB$ και $AC$, αντίστοιχα, ώστε τα σημεία $A,B,D,F$ και $A,C,D,E$ να είναι ομοκυκλικά. Τα ευθύγραμμα τμήματα $BF$ και $CE$ τέμνονται στο σημείο $P$. Το σημείο $L$ είναι ένα σημείο πάνω στην $HA$ ώστε η ευθεία $LC$ να εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $PBC$ στο σημείο $C$. Οι ευθείες $BH$ και $CP$ τέμνονται στο σημείο $X$.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία $D,X$ και $L$ είναι συνευθειακά.
Πρόβλημα 3
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που είναι τέτοιες, ώστε
$ f(x+yf(x))+y=xy+f(x+y)$
για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.
Πρόβλημα 4
Υπάρχουν $n$ πόλεις σε μια χώρα, όπου ο $n \geq 100$ είναι ένας ακέραιος. Κάποια ζεύγη πόλεων συνδέονται με απευθείας (διπλής διαδρομής) πτήσεις. Για δύο πόλεις $A$ και $B$ ορίζουμε:
(1) μια διαδρομή μεταξύ των $A$ και $B$ ως μια ακολουθία διακεκριμένων ανά δύο πόλεων
$A = C_0$, $C_1, \dots, C_k, C_{k+1} = B, k \geq 0$
έτσι ώστε να υπάρχουν απευθείας πτήσεις μεταξύ των $C_i$ και $C_{i+1}$, για κάθε $0 \leq i \leq k$,
(2) μια μεγάλη διαδρομή μεταξύ των $A$ και $B$ ως μια διαδρομή μεταξύ των $A$ και $B$ τέτοια, ώστε καμιά άλλη διαδρομή μεταξύ των $A$ και $B$ να μην έχει περισσότερες πόλεις, και
(3) μια μικρή διαδρομή μεταξύ των $A$ και $B$ ως μια διαδρομή μεταξύ των $A$ και $B$ τέτοια, ώστε καμιά άλλη διαδρομή μεταξύ των $A$ και $B$ να μην έχει λιγότερες πόλεις.
Υποθέτουμε ότι για κάθε ζεύγος πόλεων $A$ και $B$ της χώρας υπάρχει μία μεγάλη διαδρομή και μία μικρή διαδρομή μεταξύ τους, οι οποίες δεν έχουν κοινές πόλεις (εκτός των $A$ και $B$). Έστω $F$ το συνολικό πλήθος των ζευγών πόλεων της χώρας οι οποίες συνδέονται με απευθείας πτήσεις.
Να βρείτε, συναρτήσει του $n$, όλες τις πιθανές τιμές του $F$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου