Απειροστικές Ριζικές: Ένα Μαθηματικό Ταξίδι με τον Ραμανούτζαν

Ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν, ένας αυτοδίδακτος Ινδός μαθηματικός, ανακάλυψε έναν εντυπωσιακό τύπο που συνδέει άπειρες εμφωλευμένες ρίζες με έναν απλό ακέραιο αριθμό. 

Συγκεκριμένα, απέδειξε ότι:

$\sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{1 + \cdots}}}} = 3$

Η μέθοδος που χρησιμοποίησε ήταν η εξής: 

Ξεκίνησε από τη γενική σχέση:

$n(n+2) = n \sqrt{1 + (n+1)(n+3)}$

Στη συνέχεια, αντικατέστησε το γινόμενο $(n+1)(n+3)$ με την ίδια του μορφή, δηλαδή:

$(n+1)(n+3) = (n+1) \sqrt{1 + (n+2)(n+4)}$

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, κατέληξε στην άπειρη ακολουθία:

$n(n+2) = n \sqrt{1 + (n+1) \sqrt{1 + (n+2) \sqrt{1 + (n+3) \sqrt{1 + \cdots}}}}$

Θέτοντας $n = 1$, προκύπτει ο αρχικός τύπος.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο Ραμανούτζαν δεν ασχολήθηκε με την αυστηρή μαθηματική απόδειξη της σύγκλισης της άπειρης ακολουθίας. Ωστόσο, η διαίσθησή του ήταν σωστή.

Με ανάλογο τρόπο, μπορεί κανείς να αποδείξει και τον παρόμοιο τύπο:

$\sqrt{6 + 2 \sqrt{7 + 3 \sqrt{8 + 4 \sqrt{9 + \cdots}}}} = 4$