Κύκλοι Φιλιών: Η Γεωμετρία που Φιλά με Ακρίβεια

Υπάρχουν δύο κύκλοι που εφάπτονται (ένας εσωτερικά και ένας εξωτερικά) σε τρεις αμοιβαία εφαπτόμενους κύκλους: αυτοί είναι οι κύκλοι του Soddy, τους οποίους ποιητικά ονόμασε «κύκλους φιλιού». 

Αυτοί οι κύκλοι δεν είναι μόνο γεωμετρικά υπέροχοι, αλλά και μαθηματικά μαγικοί, αφού συνδέονται με μια εκπληκτική εξίσωση που αποδίδεται στον René Descartes.

Η Εξίσωση του Descartes

Αν έχουμε τρεις αμοιβαία εφαπτόμενους κύκλους με καμπυλότητες $c_1,c_2,c_3​$, τότε υπάρχουν δύο ακόμη κύκλοι που είναι επίσης εφαπτόμενοι και στους τρεις. Οι καμπυλότητές τους (ας τις πούμε $c_4​$) ικανοποιούν την περίφημη εξίσωση των τετραδύμων του Descartes:

$$2(c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2) = (c_1 + c_2 + c_3 + c_4)^2$$

Αυτή η εξίσωση δίνει δύο λύσεις για το $c_4$​ — μια για τον εσωτερικό κύκλο και μία για τον εξωτερικό. Αν τις λύσουμε, βρίσκουμε ακριβώς τις καμπυλότητες των «κύκλων φιλιού».

---

Τι είναι η καμπυλότητα κύκλου;

Η καμπυλότητα ενός κύκλου είναι το αντίστροφο της ακτίνας του. Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα $r$, τότε η καμπυλότητά του είναι:

$$\kappa = \frac{1}{r}$$Η καμπυλότητα μετρά το πόσο «σφιχτά» καμπυλώνεται ένας κύκλος:

• Μεγάλη καμπυλότητα → μικρός κύκλος.

• Μικρή καμπυλότητα → μεγάλος κύκλος.

• Μηδενική καμπυλότητα → ευθεία γραμμή.

📌 Παράδειγμα:

• Κύκλος με ακτίνα $r=2⇒κ=\frac{1}{2}=0,5$
• Κύκλος με ακτίνα $r=0,25⇒κ=4$

Αυτό το μέγεθος χρησιμοποιείται αντί της ακτίνας στο θεώρημα που προηγήθηκε, επειδή επιτρέπει μια πιο κομψή και γενικεύσιμη μαθηματική έκφραση. Σε κάποιες περιπτώσεις, οι καμπυλότητες μπορεί να πάρουν και αρνητικές τιμές όταν πρόκειται για κύκλους που περικλείουν τους άλλους.

---

Μια πινελιά ιστορίας

Ο Frederick Soddy, χημικός και βραβευμένος με Νόμπελ, γοητεύτηκε από το θεώρημα αυτό και το έκανε γνωστό με ένα ποίημά του το 1936. Αυτός ήταν που τους ονόμασε "kissing circles" (κύκλους που φιλιούνται). Είπε πως οι κύκλοι αγγίζονται τόσο ακριβώς, που είναι σαν να ανταλλάσσουν ένα φιλί.