🐂 Το Αινιγματικό Πρόβλημα των Βοδιών του Ήλιου

Μια πρόκληση από την αρχαιότητα που αγγίζει τα όρια της μαθηματικής φαντασίας

Στο τέλος της αρχαιότητας, ένας από τους πιο ιδιοφυείς επιστήμονες όλων των εποχών – ο Αρχιμήδης – συνέταξε ένα μαθηματικό πρόβλημα που αιώνες αργότερα θα απασχολούσε μαθηματικούς και ερευνητές σε όλο τον κόσμο. 

Το κείμενο, γραμμένο σε μορφή ποιήματος, αναφέρεται ως “Το πρόβλημα των βοδιών του Ήλιου” και περιέχει μία σειρά από Διοφαντικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις όπου ζητούνται ακέραιες λύσεις.

---

🏛️ Η μυθολογική αφετηρία

Στην ελληνική μυθολογία, ο θεός Ήλιος διατηρεί κοπάδια με βοοειδή στο νησί Θρινακία (συχνά ταυτισμένο με τη Σικελία).

Ο Όμηρος αναφέρεται στα κοπάδια του Ήλιου στην Οδύσσεια, όταν οι σύντροφοι του Οδυσσέα, παρά την απαγόρευση, σκοτώνουν κάποια από τα ιερά αυτά ζώα, προκαλώντας την οργή του θεού.

Αιώνες αργότερα, ο Αρχιμήδης μετατρέπει την αφήγηση αυτή σε ένα αριθμητικό πρόβλημα ασύλληπτης πολυπλοκότητας.

---

📜 Η διατύπωση του προβλήματος

Ο Ήλιος έχει τέσσερις ομάδες από ταύρους και αντίστοιχες ομάδες από αγελάδες, με τέσσερα διαφορετικά χρώματα: λευκοί, μαύροι, καφέ και γκρίζοι.

Ας ορίσουμε:

• $W,B,D,G$: οι αριθμοί των λευκών, μαύρων, καφέ και γκρίζων ταύρων αντίστοιχα.

• $w,b,d,g$: οι αριθμοί των λευκών, μαύρων, καφέ και γκρίζων αγελάδων αντίστοιχα.

Οι αναλογίες που δίνονται στο πρόβλημα είναι οι εξής:

---

🐂 Αναλογίες μεταξύ των ταύρων:

1. Ο αριθμός των λευκών ταύρων είναι ίσος με τον αριθμό των καφέ ταύρων συν τα 5/6 του αριθμού των μαύρων ταύρων:

   $W=D+\dfrac{5}{6}B$

2. Ο αριθμός των μαύρων ταύρων είναι ίσος με τον αριθμό των καφέ ταύρων συν τα 9/20 των γκρίζων ταύρων:

   $B=D+\dfrac{9}{20}G$

3. Ο αριθμός των γκρίζων ταύρων είναι ίσος με τον αριθμό των καφέ ταύρων συν τα 13/42 των λευκών ταύρων:

   $G=D+\dfrac{13}{42}W$

---

🐄 Αναλογίες μεταξύ των αγελάδων:

4. Ο αριθμός των λευκών αγελάδων είναι τα 7/12 του συνόλου των μαύρων ζώων (ταύρων + αγελάδων):

   $w=\dfrac{7}{12}(B+b)$

5. Ο αριθμός των μαύρων αγελάδων είναι τα 9/20 του συνόλου των γκρίζων ζώων (ταύρων + αγελάδων):

   $b=9/20(G+g)$

6. Ο αριθμός των γκρίζων αγελάδων είναι τα 11/30 του συνόλου των καφέ ζώων (ταύρων + αγελάδων):

   $g=\dfrac{11}{30} (D+d)$

7. Ο αριθμός των καφέ αγελάδων είναι τα 13/42 του συνόλου των λευκών ζώων (ταύρων + αγελάδων):

   $d=\dfrac{13}{42}(W+w)$

---

🧠 Η Πρόσθετη Δοκιμασία – Μέρος Β

Αφού λυθεί το παραπάνω σύστημα (Μέρος Α), το πρόβλημα γίνεται ακόμη πιο δύσκολο. Απαιτείται να ισχύουν δύο πρόσθετες συνθήκες:

8. Το άθροισμα των λευκών και μαύρων ταύρων είναι τέλειο τετράγωνο:

   $W+B=k^2$, για κάποιο ακέραιο

9. Το άθροισμα των γκρίζων και καφέ ταύρων είναι τριγωνικός αριθμός, δηλαδή της μορφής:

   $G+D=\dfrac{n(n+1}{2})$, για κάποιο n∈N

---

📐 Μαθηματική Φύση του Προβλήματος

Πρόκειται για ένα σύστημα Διοφαντικών εξισώσεων, που σημαίνει ότι οι λύσεις του πρέπει να είναι θετικοί ακέραιοι. Η απλότητα των κλασμάτων και των όρων είναι παραπλανητική: οι πραγματικοί αριθμοί που προκύπτουν είναι τεράστιοι.

Η ελάχιστη λύση του "Μέρους Α" δίνει αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 50.389.082.

Αν λυθεί πλήρως το πρόβλημα με τις πρόσθετες συνθήκες του Μέρους Β, τότε το πλήθος των ζώων του Ήλιου ξεπερνάει τα:

$7760638431060045181281756721071872410843508...$ 

(έως και $200.000$ ψηφία!)

---

🌌 Ένα μαθηματικό θαύμα

Το "Πρόβλημα των Βοδιών" αποκαλύφθηκε ξανά τον 18ο αιώνα από Γερμανούς λόγιους μέσα από μια παλιά ελληνική χειρόγραφη συλλογή. Για αιώνες, ελάχιστοι προσπάθησαν να το λύσουν λόγω της πολυπλοκότητάς του. Η πλήρης λύση δημοσιεύθηκε μόλις το 1880, με τη βοήθεια των πρώτων υπολογιστικών μεθόδων και αλγορίθμων επίλυσης Πελ-τύπου εξισώσεων.

---

❓ Πρόσκληση προς τον αναγνώστη:

Μπορείς να βρεις εσύ την ελάχιστη λύση του προβλήματος; Ή απλώς να στοχαστείς πάνω στην ομορφιά ενός προβλήματος που συνδέει μυθολογία, ποίηση και αριθμητική;

Πόσα ζώα είχε τελικά ο Ήλιος;

Μπορεί η απάντηση να είναι αστρονομική, όμως το ταξίδι προς αυτήν είναι ένα μαθηματικό έπος!