Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [24]

 Του Στέλιου Μπαλτζάκη  

Έστω συνάρτηση \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε \(x \in \mathbb{R} \) ισχύει: 

\(f''(x) = f(x)\) και \(f(0) = 0\), \(f'(0) = 1\). 

α) Να βρεθεί η \(f\). 

β) Αν \(f(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\), \(x \in \mathbb{R}\), τότε:  

i) Να βρεθεί η μονοτονία, η κυρτότητα, να βρεθεί το ολικό τυχόν και να γίνει η \(C_f\). 

ii) Να δείξετε ότι η \(f\) είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η \(f^{-1}\). 

iii) Να βρεθούν τα όρια: 

\(\lim_{x \to +\infty} f^{-1}(x)\), \(\lim_{x \to -\infty} f^{-1}(x)\). 

iv) Να βρεθούν: 

\(I = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\, dx\) και \((f^{-1})'(x)\). 

γ) Αν 

\(g(x) = f(x) + \lambda x\), \(\lambda \in \mathbb{R}\)

να προσδιορίσετε το \(\lambda\) ώστε η \(g\) να είναι γνησίως αύξουσα.