Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [25]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο $A = \mathbb{R}$ με $f(x) \neq 0$ και για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι : $$ (f(x) - e^x)(f(x) + e^x - x - 1) = 0 $$

α) Να δείξετε ότι $f(x) = e^x$, $A = \mathbb{R}$ και να βρείτε το σημείο $M$ της $f$ που είναι πλησιέστερο στο $K(1,0)$. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των $f$ και $f^{-1}$ στα σημεία $M, K$ είναι παράλληλες.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση $$ \int_1^2 e^{- t} \ln t \, dt = f^{-1}(2x+1) + x - 1 $$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα $(0,1)$.

γ) Έστω $E$ το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στη $C_f$, την ευθεία $MK$, τον άξονα $x'x$ και την ευθεία $x=-1$. Να βρείτε την ευθεία $x = \alpha$ που χωρίζει το $E$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

δ) Να βρείτε το όριο $$ \lim_{x \to 0^+} \left[ (F(e^x) - F(1))^2 f\left(\frac{1}{x}\right) \right] $$ αν η συνάρτηση $F$ είναι μια αρχική συνάρτηση της $f(x^3)$.